Lời giải:

Nhận xét: Hàm số đã cho liên tục trên \( [0;3] \).

Đạo hàm: \( y' = 3x^2 + 6x - 9 \); \( y' = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \text{ (nhận)} \\ x = -3 \text{ (loại)} \end{cases} \).

Ta có: \( f(0) = 1, f(1) = -4, f(3) = 28 \). Vậy \( \max_{x \in [0;3]} f(x) = f(3) = 28 \), \( \min_{x \in [0;3]} f(x) = f(1) = -4 \).

Kết luận: Giá trị lớn nhất là 28, giá trị nhỏ nhất là -4.

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số đã cho liên tục \( \forall x \neq -1 \) nên cũng liên tục trên \( [1;2] \).

Đạo hàm \( y' = \frac{3}{(x+1)^2} > 0, \forall x \in [1;2] \).

Ta có \( y(1) = \frac{1}{2} \), \( y(2) = 1 \). Vậy \( \max_{[1;2]} y = y(2) = 1 \).

Kết luận: Giá trị lớn nhất là 1.

Lời giải:

Nhận xét: Hàm số đã cho liên tục \( \forall x \neq -3 \) nên cũng liên tục trên \( [0;2] \).

Đạo hàm: \( y' = \frac{x^2 + 6x + 5}{(x+3)^2} \); \( y' = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \text{ (loại)} \\ x = -5 \text{ (loại)} \end{cases} \).

Ta có: \( y(0) = -\frac{5}{3} \), \( y(2) = -\frac{1}{3} \). Vậy \( \min_{[0;2]} y = y(0) = -\frac{5}{3} \).

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất là \( -\frac{5}{3} \).

Lời giải:

Điều kiện xác định: \( 2 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} \). Tập xác định: \( D = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).

Đạo hàm: \( y' = \frac{-x}{\sqrt{2-x^2}} + 1 \).

\( y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2-x^2} = x \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ 2 - x^2 = x^2 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1 \in D \).

Ta có: \( y(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \), \( y(1) = 2 \), \( y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \).

Vậy \( \min_D y = -\sqrt{2} \), \( \max_D y = 2 \).

Kết luận: Giá trị lớn nhất là 2, giá trị nhỏ nhất là \( -\sqrt{2} \).

Lời giải:

Tập xác định \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Ta có \( y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} \).

\( y' = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ x = 3 \end{cases} \).

Ta có: \( m = \min_{(1; +\infty)} y = 4 \) khi \( x = 3 \).

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất là 4.

Lời giải:

Tập xác định \( D = \mathbb{R} \).

\( y' = \frac{5 - x}{\sqrt{x^2 + 5}(x^2 + 5)} \).

\( y' = 0 \Leftrightarrow x = 5 \).

Từ bảng biến thiên có \( \max_{\mathbb{R}} y = y(5) = \frac{\sqrt{30}}{5} \) khi \( x = 5 \). Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

Kết luận: Hàm số có giá trị lớn nhất là \( \frac{\sqrt{30}}{5} \) và không có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có: \( f'(x) = 2\sin x \cos x - \sin x = \sin x(2\cos x - 1) \).

\( f'(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} \in (0;\pi) \).

Ta có: \( f(0) = 1 \); \( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{5}{4} \); \( f(\pi) = -1 \).

Vậy \( \max_{[0;\pi]} f(x) = \frac{5}{4} \) và \( \min_{[0;\pi]} f(x) = -1 \).

Kết luận: Giá trị lớn nhất là \( \frac{5}{4} \), giá trị nhỏ nhất là -1.

Lời giải:

a) Ta có: \( y' = (2-x)e^{-x} \); \( y' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \notin (-1;1) \).

\( y(-1) = -2e \); \( y(1) = 0 \). Vậy \( \max_{[-1;1]} y = 0 \) và \( \min_{[-1;1]} y = -2e \).

b) Ta có: \( y' = \ln x + 1 \); \( y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e} \in \left(\frac{1}{e^2}; e\right) \).

\( y\left(\frac{1}{e^2}\right) = 1 - \frac{2}{e^2} \); \( y\left(\frac{1}{e}\right) = 1 - \frac{1}{e} \); \( y(e) = e + 1 \).

Vậy \( \max_{\left[\frac{1}{e^2}; e\right]} y = e + 1 \) và \( \min_{\left[\frac{1}{e^2}; e\right]} y = 1 - \frac{1}{e} \).

Kết luận: a) Giá trị lớn nhất là 0, giá trị nhỏ nhất là \( -2e \). b) Giá trị lớn nhất là \( e + 1 \), giá trị nhỏ nhất là \( 1 - \frac{1}{e} \).

Lời giải:

Đạo hàm: \( y' = -3x^2 - 6x = -3x(x+2) \); \( y' = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \text{ (nhận)} \\ x = -2 \text{ (loại)} \end{cases} \).

Ta có: \( y(-1) = m - 2 \), \( y(0) = m \), \( y(1) = m - 4 \).

Dễ thấy \( \min_{[-1;1]} y = y(1) = m - 4 \). Theo đề: \( m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4 \).

Kết luận: Giá trị của \( m \) là 4.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi \( x \neq -1 \) nên cũng xác định trên \( [0;1] \).

Đạo hàm: \( y' = \frac{1 + m^2}{(x+1)^2} > 0, \forall x \in [0;1] \Rightarrow \) Hàm số đã cho đồng biến trên \( [0;1] \).

Ta có: \( \min_{[0;1]} f(x) = f(0) = -m^2 \); theo đề: \( -m^2 = -1 \Leftrightarrow m = \pm 1 \).

Kết luận: Giá trị của \( m \) là \( \pm 1 \).

Lời giải:

Hàm số liên tục trên đoạn \( [2;4] \).

Ta có: \( y' = \frac{-1 - m}{(x-1)^2} \). Nếu \( m = -1 \) thì hàm số đã cho là hàm hằng \( y = 1, \forall x \neq 1 \), không tồn tại \( \min_{[2;4]} y = 3 \).

Trường hợp 1: \( y(2) > y(4) \Rightarrow \min_{[2;4]} y = y(4) = 3 \Leftrightarrow \frac{4 + m}{4 - 1} = 3 \Rightarrow m = 5 \).

Trường hợp 2: \( y(2) < y(4) \Rightarrow \min_{[2;4]} y = y(2) = 3 \Leftrightarrow \frac{2 + m}{2 - 1} = 3 \Rightarrow m = 1 \).

Kết luận: Giá trị của \( m \) là 1 hoặc 5.

Lời giải:

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow 4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [-2;2] \).

Đạo hàm: \( y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{\sqrt{4 - x^2} - x}{\sqrt{4 - x^2}} \); \( y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^2} = x \Leftrightarrow x = \sqrt{2} \).

Ta có: \( y(-2) = m - 2 \), \( y(\sqrt{2}) = m + 2\sqrt{2} \), \( y(2) = m + 2 \).

Do đó \( \max_D y = m + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \Leftrightarrow m = \sqrt{2} \).

Kết luận: Giá trị của \( m \) là \( \sqrt{2} \).

Lời giải:

Ta có \( y' = 3x^2 - 3 \), \( y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \). \( y_{CT} = y(1) = -1 \) và \( y_{CĐ} = y(-1) = 3 \).

Ta có \( m > 0 \Rightarrow m + 1 > 1 \); do đó trên đoạn \( [m+1; m+2] \) hàm số luôn đồng biến.

Khi đó GTNN: \( \min_{[m+1; m+2]} y = y(m+1) = (m+1)^3 - 3(m+1) + 1 \).

GTNN luôn bé hơn 3 \( \Leftrightarrow (m+1)^3 - 3(m+1) - 2 < 0 \Leftrightarrow \begin{cases} m + 1 < 2 \\ m + 1 \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 1 \\ m \neq -2 \end{cases} \).

Kết hợp điều kiện \( m > 0 \) ta được \( m \in (0;1) \).

Kết luận: Giá trị của \( m \) thuộc \( (0;1) \).

Lời giải:

Ta nhận thấy cạnh hình vuông nhỏ là \( x \) (cm), \( 0 < x < 6 \) chính là chiều cao của hình hộp chữ nhật được tạo thành.

Sau khi cắt bỏ đi các hình vuông nhỏ cạnh \( x \) thì đáy khối hộp không nắp là một hình vuông có cạnh \( 12 - 2x \) (cm).

Thể tích khối hộp là hàm số: \( V(x) = (12 - 2x)^2 \cdot x = 4x^3 - 48x^2 + 144x \) với \( 0 < x < 6 \).

\( V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 6 \text{ (loại)} \\ x = 2 \text{ (nhận)} \end{cases} \).

Thể tích khối hộp lớn nhất là \( \max_{(0;6)} V = V(2) = 128 (\text{cm}^3) \); khi đó cạnh hình vuông nhỏ là \( x = 2 (\text{cm}) \).

Kết luận: Giá trị \( x = 2 \) cm để thể tích lớn nhất là 128 cm³.

Lời giải:

Gọi \( x \) là chiều rộng của đáy bể (\( x > 0 \)). Khi đó chiều dài đáy bể là \( 2x \).

Thể tích của bể: \( V = 288 \text{ dm}^3 = 0.288 \text{ m}^3 \).

Mà \( V = x \cdot 2x \cdot h \Rightarrow h = \frac{V}{2x^2} = \frac{0.288}{2x^2} = \frac{0.144}{x^2} \).

Phần xây dựng của bể (trừ mặt trên của bể) có diện tích:

\( S = 2 \cdot h \cdot x + 2 \cdot h \cdot 2x + x \cdot 2x = 6hx + 2x^2 = 6 \cdot \frac{0.144}{x^2} \cdot x + 2x^2 = \frac{0.864}{x} + 2x^2, x > 0 \).

Xét hàm số \( S(x) = \frac{0.864}{x} + 2x^2 \); \( S'(x) = -\frac{0.864}{x^2} + 4x = \frac{4x^3 - 0.864}{x^2} \).

\( S'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x^3 - 0.864 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{0.864}{4}} = 0.6 \).

Ta có: \( \min_{(0; +\infty)} S(x) = \frac{54}{25} \text{ m}^2 \), nên chi phí thấp nhất phải trả: \( \frac{54}{25} \cdot 500000 = 1080000 \) đồng.

Kết luận: Chi phí thấp nhất là 1080000 đồng.

Lời giải:

Vận tốc chuyển động của vật: \( v(t) = s'(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 18t \).

Xét hàm \( v(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 18t \) với \( t \in (0;10) \); \( v'(t) = -3t + 18 \); \( v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 6 \).

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng 10 giây đầu là 54 m/s.

Kết luận: Vận tốc lớn nhất là 54 m/s.

Lời giải:

Đặt \( HE = x \Rightarrow FK = 24 - x \) (\( 0 < x < 24 \)). Ta có:

\( AE = \sqrt{25 + x^2} \)

\( BF = \sqrt{49 + (24 - x)^2} \)

Ta cần tổng quãng đường \( AE + EF + FB \) ngắn nhất, mà \( EF \) không đổi nên \( AE + FB \) bé nhất.

Xét hàm số \( f(x) = \sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{x^2 - 48x + 625} \);

\( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} + \frac{x - 24}{\sqrt{x^2 - 48x + 625}} \), \( \forall x \in (0;24) \); \( f'(x) = 0 \Rightarrow x = 10 \).

Ta có: \( \min_{(0;24)} f(x) = 12\sqrt{5} \); khi đó \( x = 10 \) km và \( BF = 7\sqrt{5} \text{ km} \approx 15.65 \text{ km} \).

Kết luận: Cây cầu cần xây cách vị trí \( B \) là 15.65 km.

Lời giải:

Xét hệ điểm \( A, B, C, D, E \) như hình vẽ.

Gọi \( BC = x (x > 0) \). Ta cần tìm \( x \) để độ dài \( CD \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Dễ thấy hai tam giác \( CAB, CDE \) đồng dạng, suy ra: \( \frac{BC}{CE} = \frac{AC}{CD} \Rightarrow CD = AC \cdot \frac{x + 2}{x} \).

Đặt \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \cdot \frac{x + 2}{x} \) với \( x > 0 \).

\( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \cdot \frac{x + 2}{x} - \sqrt{x^2 + 4} \cdot \frac{2}{x^2} = \frac{x^2(x + 2) - 2(x^2 + 4)}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}} = 0 \)

\( \Leftrightarrow x^3(x + 2) = 2(x^2 + 4) \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2 \).

Bảng biến thiên của \( f(x) \):

Vậy chiều dài tối thiểu của thang bằng \( 4\sqrt{2} \).

Kết luận: Chiều dài tối thiểu của thang là \( 4\sqrt{2} \) mét.

Lời giải:

Gắn elip lên hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, elip có \( 2a = 12 \Rightarrow a = 6 \); \( 2b = 8 \Rightarrow b = 4 \).

Phương trình chính tắc elip (E): \( \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \).

Đặt chiều cao và bán kính đáy hình trụ nội tiếp elip là \( h, r \) thì điểm tiếp xúc \( M\left(\frac{h}{2}; r\right) \) với \( 0 < h < 12 \); \( 0 < r < 4 \).

Điểm \( M \) thuộc (E): \( \frac{(h/2)^2}{36} + \frac{r^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{h^2}{144} + \frac{r^2}{16} = 1 \Rightarrow r^2 = 16\left(1 - \frac{h^2}{144}\right) \).

Thể tích khối trụ là \( V = \pi r^2 h = \pi 16 \left(1 - \frac{h^2}{144}\right) h = \pi \left(16h - \frac{h^3}{9}\right) \).

Ta có \( V' = \pi \left(16 - \frac{h^2}{3}\right) \); \( V' = 0 \Rightarrow 16 - \frac{h^2}{3} = 0 \Rightarrow h^2 = 48 \Rightarrow h = 4\sqrt{3} \in (0;12) \).

Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là \( V_{\max} = V(4\sqrt{3}) = \pi \left(16 \cdot 4\sqrt{3} - \frac{(4\sqrt{3})^3}{9}\right) \approx 232 \text{ cm}^3 \).

Kết luận: Thể tích tối đa của khối trụ là 232 cm³.