EDUCODE

Lời giải:

a) Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{0; 1\} \).

Ta có: \( \lim_{x \to 0^+} y = -\infty \) (tương tự: \( \lim_{x \to 0^-} y = +\infty \)). Suy ra đường thẳng \( x=0 \) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \( \lim_{x \to 1^+} y = +\infty \) (tương tự: \( \lim_{x \to 1^-} y = -\infty \)). Suy ra đường thẳng \( x=1 \) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: \( D = (2; +\infty) \).

Ta có: \( \lim_{x \to 2^+} y = +\infty \) nên \( x=2 \) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lưu ý: Khi tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, nếu giới hạn một bên của hàm số cho ta kết quả vô cùng (\( +\infty \) hoặc \( -\infty \)) thì ta không cần tính giới hạn bên còn lại mà vẫn kết luận về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Kết luận: Đường tiệm cận đứng là \( x=0 \) và \( x=1 \) (đối với a); \( x=2 \) (đối với b).

Lời giải:

a) Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1; 2\} \).

Vì \( y = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+2}{x-1} \) và \( \lim_{x \to 1^+} y = +\infty \) (tương tự: \( \lim_{x \to 1^-} y = -\infty \)) nên đường thẳng \( x=1 \) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi \( \begin{cases} 2-x \ge 0 \\ x^2-2x-3 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \le 2 \\ x \ne -1 \end{cases} \).

Vì \( \lim_{x \to -1^+} y = -\infty \) (tương tự: \( \lim_{x \to -1^-} y = +\infty \)) nên đường thẳng \( x=-1 \) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Kết luận: Đường tiệm cận đứng là \( x=1 \) (đối với a); \( x=-1 \) (đối với b).

Lời giải:

Tiệm cận đứng đồ thị hàm số: \( x = -\frac{d}{c} = \frac{-2}{1} = -2 \).

Tiệm cận ngang đồ thị hàm số: \( y = \frac{a}{c} = \frac{-3}{1} = -3 \).

Kết luận: Đáp án A.

Lời giải:

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị: \( x = -\frac{d}{c} = \frac{1}{2} \), tiệm cận ngang của đồ thị: \( y = \frac{a}{c} = \frac{3}{2} \).

Do đó \( T = m^2+n^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{5}{2} \).

Kết luận: Đáp án D.

Lời giải:

Nhận xét:

• Hàm số phân thức trên đã được rút gọn (chuẩn thức) nên ta chỉ cần cho mẫu số bằng 0 để tìm các nghiệm \( x_i \) (nếu có), các nghiệm này chính là các đường tiệm cận đứng của đồ thị.
• Mặt khác vì bậc tử (bậc I) bé hơn bậc mẫu (bậc II) nên đồ thị luôn có tiệm cận ngang \( y=0 \).

Xét mẫu bằng 0, ta có: \( x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=2 \end{cases} \). Tiệm cận đứng đồ thị: \( x=1, x=2 \).

Mặt khác: \( \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-1}{x^2-3x+2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2})}{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2})} = \frac{0}{1} = 0 \). Tiệm cận ngang đồ thị: \( y=0 \).

Kết luận: Đáp án B (3 tiệm cận).

Lời giải:

Nhận xét:

• Ta thấy nghiệm của mẫu \( \{\pm 2\} \) và nghiệm của tử \( \{2; -\frac{3}{2}\} \) có số 2 là phần tử chung nên hàm số đã cho chưa được chuẩn thức. Ta cần rút gọn trước khi tìm tiệm cận đứng.
• Bậc tử và bậc mẫu của phân thức là bằng nhau (cùng bậc II) nên tiệm cận ngang của đồ thị là \( y=\frac{2}{1}=2 \).

Ta có: \( y = \frac{2x^2-x-6}{x^2-4} = \frac{(x-2)(2x+3)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x+3}{x+2} \) nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là \( x=-2, y=2 \).

Kết luận: Đáp án D.

Lời giải:

Ta có: \( y=\frac{x^2+2x-3}{(x+3)(x^3-x^2+x-1)} = \frac{(x-1)(x+3)}{(x+3)(x-1)(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1} \).

Xét mẫu số bằng 0 thì \( x^2+1=0 \) (vô nghiệm). Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Vì bậc tử bé hơn bậc mẫu nên \( \lim_{x \to \pm\infty} y = 0 \); suy ra tiệm cận ngang của đồ thị là \( y=0 \).

Kết luận: Đáp án D (1 tiệm cận).

Lời giải:

Cách giải 1: Phương pháp tự luận.

Vì tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Ta có: \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1+\frac{3}{x})}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = 1 \);

\( \lim_{x \to -\infty} \frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1+\frac{3}{x})}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1+\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = -1 \).

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là \( y=\pm 1 \).

Cách giải 2 (tham khảo thêm): Phương pháp trắc nghiệm.

Nhập vào máy tính bỏ túi như sau: \( \frac{X+3}{\sqrt{X^2+1}} \) CALC \( 10^{10} \) (nghĩa là thay x bởi một số vô cùng lớn).

Kết quả hiển thị là [1], tức là \( \lim_{x \to +\infty} y = 1 \).

Tương tự, nhập: \( \frac{X+3}{\sqrt{X^2+1}} \) CALC \( -10^{10} \) (nghĩa là thay x bởi một số vô cùng bé).

Kết quả hiển thị -0.9999999998. Số này gần bằng -1. Ta hiểu \( \lim_{x \to -\infty} y = -1 \).

Kết luận: Đáp án B.

Lời giải:

Nhận xét: Nghiệm của mẫu là \( x=2, x=3 \); trong đó \( x=2 \) cùng là nghiệm của tử số (thay vào làm cho tử số bằng 0), vì vậy ta cần nhân lượng liên hợp trước khi tìm tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có: \( y = \frac{(2x-1)^2-(x^2+x+3)}{(x^2-5x+6)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} = \frac{3x^2-5x-2}{(x-2)(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} = \frac{(x-2)(3x+1)}{(x-2)(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} = \frac{3x+1}{(x-3)(2x-1+\sqrt{x^2+x+3})} \).

Ta thấy trong hai nghiệm ban đầu \( x=2, x=3 \) thì nghiệm \( x=2 \) bị loại (đã bị rút gọn-không là tiệm cận đứng đồ thị), nên đồ thị chỉ còn tiệm cận đứng \( x=3 \).

Kết luận: Đáp án D.

Lời giải:

Nhận xét: Trong hầu hết bài toán, ta nên tìm tiệm cận ngang của đồ thị trước tiệm cận đứng vì việc tìm tiệm cận ngang đơn giản hơn.

• Tìm tiệm cận ngang:

Bậc của tử là bậc của \( \sqrt{x} \), tức là bậc \( \frac{1}{2} \); bậc của mẫu là bậc 2. Vì bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu và hàm số tồn tại giới hạn dương vô cực nên đồ thị luôn có tiệm cận ngang \( y=0 \).

• Tìm tiệm cận đứng:

Xét mẫu bằng 0 \( \Rightarrow x^2+x=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=-1 \end{cases} \).

Nhận xét: Không có nghiệm nào trùng nghiệm tử (thay vào tử để biết) nên ta không nhân lượng liên hợp.

• Thay \( x=0 \) vào tử, ta có \( (\sqrt{2x+1}-2)|_{x=0} = -1 \ne 0 \) nên \( x=0 \) là tiệm cận đứng của đồ thị.
• Thay \( x=-1 \) vào tử, ta được MATH ERROR nên \( x=-1 \) không là tiệm cận đứng của đồ thị.

Kết luận: Đáp án D (2 tiệm cận).

Lời giải:

Bậc tử là bậc 1 (bậc của 5x), bé hơn bậc mẫu (bậc 2) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \( y=0 \).

Vì nghiệm của mẫu là \( \{0;2\} \) trong đó \( x=0 \) cũng là nghiệm của tử nên ta cần nhân liên hợp cho hàm số. Ta được: \( y = \frac{(5x+1)^2-(x+1)}{(x^2-2x)(5x+1+\sqrt{x+1})} = \frac{25x^2+9x}{x(x-2)(5x+1+\sqrt{x+1})} = \frac{25x+9}{(x-2)(5x+1+\sqrt{x+1})} \).

Ta thấy chỉ còn \( x=2 \) thỏa mãn là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Kết luận: Đáp án C (2 tiệm cận).

Lời giải:

Ta có: \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\frac{1}{x}}{4\sqrt{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}-3-\frac{5}{x}} = -\frac{1}{3} \); do đó \( y=-\frac{1}{3} \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét mẫu bằng 0 thì \( 4\sqrt{3x+1}=3x+5 \Rightarrow \begin{cases} 3x+5 \ge 0 \\ 16(3x+1)=9x^2+30x+25 \end{cases} \Rightarrow x=1 \) (trùng nghiệm tử).

Ta cần nhân liên hợp cho hàm số: \( y=\frac{(x-1)(4\sqrt{3x+1}+3x+5)}{16(3x+1)-(3x+5)^2} = \frac{(x-1)(4\sqrt{3x+1}+3x+5)}{-9x^2+18x-9} = \frac{4\sqrt{3x+1}+3x+5}{-9(x-1)} \).

Dễ thấy \( x=1 \) là tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Kết luận: Đáp án A.

Lời giải:

Ta có: \( \begin{cases} x \to -\infty \\ y \to -4 \end{cases} \) và \( \begin{cases} x \to +\infty \\ y \to -1 \end{cases} \) nên đồ thị có hai đường tiệm cận ngang \( y=-4; y=-1 \).

\( \begin{cases} x \to -1^+ \\ y \to +\infty \end{cases} \) nên đồ thị có tiệm cận đứng \( x=-1 \) (lúc này không cần xét giới hạn khi \( x \to -1^- \) nữa);

\( \begin{cases} x \to 1^- \\ y \to -\infty \end{cases} \) nên đồ thị có tiệm cận đứng \( x=1 \) (lúc này không cần xét giới hạn khi \( x \to 1^+ \) nữa). Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng \( x=1; x=-1 \).

Kết luận: Đáp án C (4 tiệm cận).

Lời giải:

Ta có: \( \begin{cases} x \to -\infty \\ y \to +\infty \end{cases} \) (not) và \( \begin{cases} x \to +\infty \\ y \to 0 \end{cases} \) nên đồ thị có một đường tiệm cận ngang \( y=0 \).

Mặt khác: \( \begin{cases} x \to -2^+ \\ y \to -\infty \end{cases} \) và \( \begin{cases} x \to 0^- \\ y \to +\infty \end{cases} \) nên \( x=-2; x=0 \) là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Kết luận: Đáp án D (3 tiệm cận).

Lời giải:

Khi \( x \to +\infty \) thì \( f(x) \to +\infty \); suy ra \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \to 0 \) (do mẫu tiến về vô cùng), hay \( \lim_{x \to +\infty} y=0 \) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \( y=0 \).

Khi \( x \to -\infty \) thì \( f(x) \to -\infty \); suy ra \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \to 0 \) (do mẫu tiến về vô cùng), hay \( \lim_{x \to -\infty} y=0 \) (đã kết luận).

Xét mẫu bằng 0 thì \( 2f(x)-1=0 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{2} \Rightarrow x=a \lor x=b \lor x=c \) (a, b, c phân biệt).

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.

Kết luận: Đáp án A (4 tiệm cận).

Lời giải:

Cần nhớ, điều kiện để đồ thị hàm số \( y=\frac{ax+b}{cx+d} \) có tiệm cận là \( \begin{cases} c \ne 0 \\ ad \ne bc \end{cases} \).

Áp dụng vào hàm số trên, ta có điều kiện: \( \begin{cases} m \ne 0 \\ m^2+m-3 \ne m(m-3) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ne 0 \\ 4m \ne 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ne 0 \\ m \ne \frac{3}{4} \end{cases} \).

Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị: \( y=\frac{a}{c}=\frac{m^2+m-3}{m} \). Đường thẳng này đi qua A(2025,-1) nên \( \frac{m^2+m-3}{m}=-1 \Leftrightarrow m^2+2m-3=0 \Leftrightarrow \begin{cases} m=1 \\ m=-3 \end{cases} \).

Kết luận: Đáp án C.

Lời giải:

Đ đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận khi và chỉ khi \( \begin{cases} c=2 \ne 0 \\ ad-bc=m^2+2 > 0 \end{cases} \) (đúng \( \forall m \in \mathbb{R} \)).

Tiệm cận đứng của đồ thị: \( x = -\frac{m}{2} \). Đường thẳng này qua \( M(-1;\sqrt{2}) \) suy ra \( -\frac{m}{2}=-1 \Leftrightarrow m=2 \).

Kết luận: Đáp án B.

Lời giải:

Xét \( m=0 \). Hàm số trở thành \( y=-x \) nên đồ thị không có đường tiệm cận đứng.

Xét \( m \ne 0 \). Khi đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng \( \Leftrightarrow ad-bc=0 \Leftrightarrow -1+m^2=0 \Leftrightarrow m=\pm 1 \).

Vậy giá trị của m cần tìm là \( m=0; m=\pm 1 \).

Kết luận: Đáp án D.

Lời giải:

Để đồ thị hàm số \( y=\frac{x-1}{x^2-mx-2} \) có 2 đường tiệm cận đứng thì \( g(x)=x^2-mx-2=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta_g=m^2+8 > 0 \\ g(1)=1-m-2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \ne -1 \).

Kết luận: Đáp án A.

Lời giải:

Xét mẫu bằng 0 thì \( x^2-3x=0 \Rightarrow x=0 \lor x=3 \).

Để đồ thị hàm số \( y=\frac{mx-1}{x^2-3x} \) có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình: \( mx-1=0 \) không nhận \( x=0 \) và \( x=3 \) là nghiệm \( \Leftrightarrow \begin{cases} m.0-1 \ne 0 \\ m.3-1 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{3} \).

Kết luận: Đáp án C.

Lời giải:

Với \( m=0 \) thì hàm số trở thành \( y=\frac{x-2}{-2x+4}=-\frac{1}{2} \) (không thỏa mãn).

Với \( m \ne 0 \) thì \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{mx^2-2x+4} = 0 \Rightarrow y=0 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó ta cần tìm m để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng. Khi đó \( mx^2-2x+4=0 \) có nghiệm duy nhất hoặc \( mx^2-2x+4=0 \) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm \( x=2 \).

• \( mx^2-2x+4=0 \) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta'=0 \Leftrightarrow 1-4m=0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{4} \).
• \( mx^2-2x+4=0 \) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm \( x=2 \).

\( \begin{cases} \Delta' > 0 \\ m.2^2-2.2+4=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < \frac{1}{4} \\ m=0 \end{cases} \Rightarrow m=0 \). Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Kết luận: Đáp án B.

Lời giải:

Điều kiện xác định: \( mx^2+1 \ge 0 \). (*)

Nếu \( m=0 \) thì hàm số trở thành \( y=x+1 \), đồ thị hàm này không có tiệm cận ngang.

Nếu \( m<0 \) thì

Nếu \( m<0 \) thì \( \lim_{x \to \pm\infty} y \) không tồn tại (do điều kiện (*) không được thỏa mãn).

Nếu \( m>0 \) thì: \( \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1+\frac{1}{x})}{x\sqrt{m+\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{m}} \); \( \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1+\frac{1}{x})}{-x\sqrt{m+\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{m}} \).

Điều này đồng nghĩa việc đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là \( y=\pm\frac{1}{\sqrt{m}} \).

Kết luận: Đáp án D.

Lời giải:

a) Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng: \( d_1: x-1=0 \).

Ta có: \( d(M, d_1) = \frac{|2-1|}{\sqrt{1^2}} = 1 \).

b) Ta có \( y = \frac{2x^2-x}{x-1} = 2x+1+\frac{1}{x-1} \) và \( \lim_{x \to \pm\infty} [y-(2x+1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x-1} = 0 \) nên đồ thị hàm số (C) có tiệm cận xiên là \( y=2x+1 \) (\( d_2 \)).

Tiệm cận xiên cắt Ox tại \( A(-\frac{1}{2};0) \), cắt trục Oy tại \( B(0;1) \) nên \( S_{OAB} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}|-\frac{1}{2}|.|1|=\frac{1}{4} \).

Lời giải:

Ta có các đường thẳng \( x=\frac{3}{2} \) và \( y=1 \) lần lượt là đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Gọi \( M(x; \frac{2x+2}{2x-3}) \in (C) \) với \( x \ne \frac{3}{2} \).

Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng \( |x-\frac{3}{2}|=\frac{|2x-3|}{2} \).

Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang bằng \( |\frac{2x+2}{2x-3}-1|=\frac{5}{|2x-3|} \).

Khi đó: \( \frac{5}{|2x-3|}=10.\frac{|2x-3|}{2} \Leftrightarrow (2x-3)^2=1 \Leftrightarrow 4x^2-12x+8=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=2 \Rightarrow M(2;6) \\ x=1 \Rightarrow M(1;-4) \end{cases} \).

Kết luận: Đáp án B (2 điểm).

Lời giải:

Đồ thị hàm số \( f(x)=\frac{x+1}{x-1} \) có hai đường tiệm cận là \( x=1 \) và \( y=1 \).

Đồ thị hàm số \( g(x)=\frac{ax+1}{x-2} \) có hai đường tiệm cận là \( x=2 \) và \( y=a \).

Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước lần lượt là 1 và \( |a-1| \). Theo giả thiết: \( |a-1|.1=4 \Leftrightarrow \begin{cases} a=5 \\ a=-3 \end{cases} \). Vì \( a>0 \) nên chọn \( a=5 \).

Kết luận: Đáp án D.

Lời giải:

Hàm số \( y=\frac{2x-1}{x-1} \) có đường tiệm cận ngang \( d_1: y=2 \) và đường tiệm cận đứng \( d_2: x=1 \). Khi đó:

\( d(M,d_1)=|b-2|=|\frac{2a-1}{a-1}-2|=\frac{1}{|a-1|} \); \( d(M,d_2)=|a-1| \).

Khi đó \( d(M,d_1)+d(M,d_2)=|a-1|+\frac{1}{|a-1|} \ge 2\sqrt{|a-1|.\frac{1}{|a-1|}}=2 \) (bất đẳng thức Cau-chy).

Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất là 2 khi \( |a-1|=\frac{1}{|a-1|} \Leftrightarrow (a-1)^2=1 \Leftrightarrow a^2-2a=0 \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=2 \end{cases} \).

So điều kiện ta thấy \( a=2 \) thỏa mãn. Suy ra \( b=\frac{2.2-1}{2-1}=3 \Rightarrow a+2b=8 \).

Kết luận: Đáp án A.

Lời giải:

a) Ta có: \( \lim_{x \to +\infty} T(x) = 150 \lim_{x \to +\infty} (6-\frac{5}{x+2}) = 150 \cdot 6 = 900 \). Vậy đường thẳng \( y=900 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Nếu số tháng sản xuất (x) là đủ lớn thì số lượng sản phẩm X bán ra trong x tháng của công ty là 900 sản phẩm.

Lời giải:

a) Ta có: \( \lim_{v \to c^-} m(v) = \lim_{v \to c^-} \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = +\infty \) (vì \( \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \to 0 \) và \( 1-\frac{v^2}{c^2}>0 \) khi \( v).

Do vậy đường thẳng \( v=c \) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y=m(v) \).

b) Ta thấy khối lượng của vật sẽ vô cùng lớn (dần về vô cực) khi vận tốc của vật tiến dần về vận tốc ánh sáng.

Lời giải:

Tập xác định: \( D=[0;100) \).

Xét hàm số \( y=C(x)=\frac{300x}{100-x}, 0 \le x < 100 \). Ta có: \( y' = \frac{30000}{(100-x)^2} > 0 \), với mọi \( x \in [0;100) \).

Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng \( [0;100) \).

\( \lim_{x \to 100^-} C(x) = \lim_{x \to 100^-} \frac{300x}{100-x} = +\infty \), nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \( x=100 \).

a) Chi phí cần bỏ ra \( C(x) \) sẽ luôn tăng khi x tăng.

b) Vì \( \lim_{x \to 100^-} C(x) = +\infty \) (hàm số \( C(x) \) không xác định khi \( x=100 \)).

Nên nhà máy không thể loại bỏ 100% chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa).

Lời giải:

a) Ta có \( \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} 200(5-\frac{9}{2+x}) = 1000 \).

Vậy đường thẳng \( y=1000 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Khi x đủ lớn thì số lượng sản phẩm bán được của công ty sẽ tiến gần đến 1000.

Lời giải:

a) Sau t phút, ta có khối lượng muối trong bể là \( 25 \cdot 30t = 750t \) (gam).

Thể tích của lượng nước trong bể là \( 5000+25t \) (lít).

Vậy nồng độ muối sau t phút là \( f(t) = \frac{750t}{5000+25t} = \frac{30t}{200+t} \) (gam/lít).

b) Ta có: \( \lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{30t}{200+t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{30}{\frac{200}{t}+1} = 30 \).

Vậy đường thẳng \( y=30 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( f(t) \).

c) Ta có đồ thị hàm số \( y=f(t) \) nhận đường thẳng \( y=30 \) làm tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ muối trong nước muối được bơm vào bể.

Lời giải:

Xét \( \lim_{x \to +\infty} (\frac{40}{27}\sqrt{x^2-27^2} - \frac{40}{27}x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{40}{27} \frac{(x^2-27^2)-x^2}{\sqrt{x^2-27^2}+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{40}{27} \frac{-27^2}{\sqrt{x^2-27^2}+x} = 0 \).

Vậy đường thẳng \( y=\frac{40}{27}x \) là một đường tiệm cận xiên của (C).

Xét nhánh còn lại, ta có \( \lim_{x \to -\infty} (\frac{40}{27}\sqrt{x^2-27^2} - (-\frac{40}{27}x)) = \lim_{x \to -\infty} \frac{40}{27} (\sqrt{x^2-27^2} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{40}{27} \frac{x^2-27^2-x^2}{\sqrt{x^2-27^2}-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{40}{27} \frac{-27^2}{\sqrt{x^2-27^2}-x} = 0 \).

Vậy đường thẳng \( y=-\frac{40}{27}x \) là một đường tiệm cận xiên khác của (C).

Lời giải:

a) Tổng chi phí: \( T(x)=50000+5x \). Chi phí trung bình: \( M(x)=\frac{50000}{x}+5 \).

Khi \( x \to +\infty \), \( \frac{50000}{x} \to 0 \) nên \( M(x) \to 5 \). Tiệm cận ngang: \( y=5 \).

b) Nhận xét khi x đủ lớn: Chi phí trung bình \( M(x) \) tiến gần đến 5 USD, là chi phí biến đổi mỗi sản phẩm. Chi phí cố định ban đầu không ảnh hưởng đáng kể khi sản xuất quy mô lớn.

Lời giải:

a) Để chứng minh \( y=55-\frac{1}{2}x \) là tiệm cận xiên, ta xét \( \lim_{x \to +\infty} [(55-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+144}) - (55-\frac{1}{2}x)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}(x-\sqrt{x^2+144}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}\frac{x^2-(x^2+144)}{x+\sqrt{x^2+144}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-72}{x+\sqrt{x^2+144}}=0 \).

Vậy \( y=55-\frac{1}{2}x \) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y=55-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+144} \).

b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm chi phí trung bình \( C(x) \).

• \( \lim_{x \to +\infty} C(x) = \lim_{x \to +\infty} (50+\frac{2000}{x}) = 50 \). Vậy \( y=50 \) là tiệm cận ngang của \( C(x) \).
• \( \lim_{x \to 0^+} C(x) = \lim_{x \to 0^+} (50+\frac{2000}{x}) = +\infty \). Vậy \( x=0 \) (trục Oy) là tiệm cận đứng của \( C(x) \).
• Đồ thị hàm số \( C(x) \) có tiệm cận ngang nên không có tiệm cận xiên.

Lời giải:

• Ta có \( \lim_{t \to +\infty} y(t) = 5 \) \( \Rightarrow y=5 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
• Đồ thị không có tiệm cận đứng vì mẫu số \( 9t^2+1 \ne 0, \forall t \ge 0 \).

Nhận xét: Khi t rất lớn, nồng độ oxygen tiến đến 5mg/l và ổn định.