LỚP TOÁN THẦY BÌNH
--:--:--

📘 BÀI 2

Môn Toán - Lớp 12

📘 BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT

📚 ĐỊNH NGHĨA

Định Nghĩa

  • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Các kí hiệu thường dùng về vectơ là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}, \vec{AB}, \vec{MN}, \dots$
  • Một vectơ có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$ có kí hiệu: $\vec{AB}$.
  • Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
  • Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, thường được kí hiệu là: $|\vec{a}|, |\vec{b}|, |\vec{u}|, |\vec{AB}|, |\vec{MN}|, \dots$
  • Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu: $\vec{0}$. Ta cũng hiểu rằng các vectơ $\vec{AA}, \vec{BB}, \vec{MM}, \dots$ là các vectơ-không. Mọi vectơ-không có độ dài bằng 0.

📚 ĐỊNH NGHĨA

Định Nghĩa

  • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
  • Hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
  • Hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Kí hiệu: $\vec{a} = \vec{b}$.
  • Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý

Một số lưu ý:

  • Vectơ $\vec{0}$ luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
  • Trong vật lí, một số đại lượng như vận tốc, gia tốc của vật, lực tác dụng lên vật v.v... thường được biểu thị bởi các vectơ.

Tổng của hai vectơ

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý

Với ba điểm bất kì $A, B, C$, ta có: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý

Nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì ta có: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, ta có: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$.
Chứng minh: Ta có: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$.
(Vì $ABCD$ và $AA'C'C$ là các hình bình hành).

Tính chất của tổng vectơ

  • Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.
  • Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.
  • Tính chất của vectơ-không: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Hiệu hai vectơ

📚 ĐỊNH NGHĨA

Định Nghĩa

  • Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.
  • Vectơ đối của $\vec{a}$ được kí hiệu là $-\vec{a}$. Hai vectơ này có tổng bằng $\vec{0}$.
  • Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đối nhau, ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$.
  • Vectơ đối của $\vec{0}$ là chính nó.

📚 ĐỊNH NGHĨA

Định Nghĩa

  • Hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tổng của $\vec{a}$ với vectơ đối của $\vec{b}$. Kí hiệu: $\vec{a} - \vec{b}$.
  • Ta có: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
  • Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
  • Với ba điểm bất kì $A, B, C$ ta có: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Tích của vectơ với một số

📚 ĐỊNH NGHĨA

Định Nghĩa

Cho số thực $k \ne 0$ và vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$. Tích của vectơ $\vec{a}$ với số $k$ là một vectơ, kí hiệu là $k\vec{a}$, được xác định như sau:

  • Nếu $k > 0$ thì $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$; nếu $k < 0$ thì $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$.
  • Độ dài của vectơ $k\vec{a}$ bằng $|k|$ lần độ dài của vectơ $\vec{a}$, tức là $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý

Quy ước: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ và $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$

Tính chất tích của vectơ với một số
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ bất kì và hai số thực $h, k$, ta có:

  • $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$;
  • $(h+k)\vec{a} = h\vec{a} + k\vec{a}$;
  • $h(k\vec{a}) = (hk)\vec{a}$;
  • $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$, $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$.

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý

$k\vec{a} = \vec{0} \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a} = \vec{0}$.

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý
  • $M$ là trung điểm của đoạn $AB$ khi và chỉ khi $\begin{cases} \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0} \\ \vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI} \end{cases}$, với $M$ tùy ý.
  • $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\begin{cases} \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \\ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG} \end{cases}$, với $M$ tùy ý.
  • $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ khi và chỉ khi $\begin{cases} \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0} \\ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = 4\vec{MG} \end{cases}$, với $M$ tùy ý.
  • Nếu $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$ thì $\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SO}$.

Tích vô hướng của hai vectơ

📚 ĐỊNH NGHĨA

Định Nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ-không. Từ một điểm $O$ bất kỳ ta vẽ $\vec{OA} = \vec{a}$ và $\vec{OB} = \vec{b}$. Khi đó góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và ký hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$.

📚 ĐỊNH NGHĨA

Định Nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$. Tích vô hướng của hai véc tơ $\vec{a}, \vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$, được xác định bởi công thức $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$.

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý
  • Khi một trong hai véc tơ $\vec{a}, \vec{b}$ bằng $\vec{0}$ thì ta quy ước $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
  • Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$, ta có: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
  • Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ (do $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \cos 0^\circ = 1$).
  • Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ ngược hướng thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ (do $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \cos 180^\circ = -1$).
  • Khi $\vec{a} = \vec{b}$, tích vô hướng giữa chúng được kí hiệu $\vec{a}^2$ (ta gọi là bình phương vô hướng của $\vec{a}$). Ta có: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{a}) = |\vec{a}|^2 \cdot \cos 0^\circ = |\vec{a}|^2$.

⚠️ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

Chú ý

Với mọi vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ và mọi số thực $k$, ta có:

  • $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$;
  • $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$;
  • $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$;
  • $\vec{a}^2 \ge 0$; $\vec{a}^2 = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0}$.

Ứng dụng tích vô hướng hai vectơ

  • Tính độ dài đoạn thẳng: Với hai điểm $A, B$ phân biệt, ta có $\vec{AB}^2 = AB^2$, độ dài $AB$ được tính theo công thức $AB = \sqrt{\vec{AB}^2}$. Từ đây ta có:
    • $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ và $|x\vec{a} + y\vec{b}|^2 = x^2|\vec{a}|^2 + y^2|\vec{b}|^2 + 2xy\vec{a} \cdot \vec{b}$;
    • $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c}$ và
      $|x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}|^2 = x^2|\vec{a}|^2 + y^2|\vec{b}|^2 + z^2|\vec{c}|^2 + 2xy\vec{a} \cdot \vec{b} + 2xz\vec{a} \cdot \vec{c} + 2yz\vec{b} \cdot \vec{c}$.
  • Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau: Cho hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$, ta có: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
  • Tính công khi lực tác động làm vật di chuyển: Trong vật lí, nếu có một lực $\vec{F}$ tác động lên vật tại điểm $O$ và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường $s = OM$ thì công $A$ của lực $\vec{F}$ được tính theo công thức $A = \vec{F} \cdot \vec{OM} = |\vec{F}| \cdot |\vec{OM}| \cdot \cos\varphi$, trong đó $\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\vec{F}$ và $\vec{OM}$, công $A$ tính theo đơn vị Jun (J).

Điều kiện đồng phẳng của ba vecto

  • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.
  • Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất cặp số thực $(m; n)$ để $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$.
  • Bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ đồng phẳng.

Điều kiện đặc biệt:

  • $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\vec{AB} = m\vec{AC} + n\vec{AD}$ với $m, n$ là số thực.
  • $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\vec{MA} = x\vec{MB} + y\vec{MC} + z\vec{MD}$ với các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=1$.
  • $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $x\vec{MA} + y\vec{MB} + z\vec{MC} + t\vec{MD} = \vec{0}$ với các số thực $x, y, z, t$ thỏa mãn $x+y+z+t=0$.

Phân dạng bài tập

📊 CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC VECTƠ, TÌM ĐIỂM VÀ TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Chứng minh các hệ thức vectơ, tìm điểm và tính độ dài vectơ

Cho tứ diện $ABCD$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$; $I$ là trung điểm $MN$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Chứng minh rằng:

  1. $\vec{AC}+\vec{BD} = \vec{AD}+\vec{BC}$.
    Hướng dẫn giải
    Ta có: $\vec{AC}+\vec{BD} = \vec{AD}+\vec{BC} \Leftrightarrow \vec{AC} + \vec{BD} - \vec{AD} - \vec{BC} = \vec{0}$
    $\Leftrightarrow (\vec{AC}-\vec{AD})+(\vec{BD}-\vec{BC})=\vec{0} \Leftrightarrow \vec{DC}+\vec{CD} = \vec{0}$
    $\Leftrightarrow \vec{DD} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{0} = \vec{0}$ (đpcm).
  2. $\vec{AM} - \vec{AD} - \vec{NC} = \vec{NM}$.
  3. $\vec{BM} + \vec{AC} + \vec{ND} = \vec{MN}$.
  4. $\vec{MN} = \dfrac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BC})$.
    Hướng dẫn giải
    $VT = \vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \dfrac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AD}) - \dfrac{1}{2}\vec{AB}$ (tính chất trung điểm).
    $\Leftrightarrow VT = \dfrac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB}) + \dfrac{1}{2}\vec{AD} = \dfrac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC}) = VP$ (đpcm).
  5. $\vec{IA}+\vec{IB}+\vec{IC}+ \vec{ID} = \vec{0}$.
  6. $\vec{AG} = \dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})$.
    Ta có: $\vec{AG} = \dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}) \Leftrightarrow 3\vec{AG} = \vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}$
    $\Leftrightarrow 3\vec{AG} = \vec{AG}+\vec{GB} + \vec{AG}+\vec{GC} + \vec{AG}+\vec{GD} \Leftrightarrow \vec{0} = \vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}$ (*)
    (*) luôn đúng vì G là trọng tâm tam giác BCD nên hệ thức ban đầu được chứng minh.
  7. $12\vec{IG} = \vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}$.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Chứng minh các hệ thức vectơ, tìm điểm và tính độ dài vectơ

Cho hình chóp $S.ABC$. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ và $SM = \dfrac{2}{3}SA$.

  1. Viết hệ thức liên hệ giữa cặp vectơ $\vec{SA}$ và $\vec{SM}$, $\vec{MA}$ và $\vec{AS}$.
  2. Tìm điểm $N$ sao cho $\vec{MN} = -\dfrac{2}{3}\vec{BA}$.
  3. Chứng minh rằng $2.\vec{SA}-2.\vec{AC}+2.\vec{BC} = 3.\vec{SM}+3.\vec{NM}$.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Chứng minh các hệ thức vectơ, tìm điểm và tính độ dài vectơ

Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $I$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $J$ là trọng tâm tam giác $ADC$. Chứng minh rằng $2\vec{SA}+\vec{SB}+2\vec{SC}+\vec{SD} = 3(\vec{SI}+\vec{SJ})$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=1, BC=2, DD'=3$. Tìm độ dài các vectơ

  1. $\vec{a} = \vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA'}$;
    Hướng dẫn giải
    • Ta có: $\vec{a} = \vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA'} = \vec{AC'}$ (quy tắc hình hộp).
    • Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là: $|\vec{a}| = |\vec{AC'}| = AC' = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CC'^2} = \sqrt{14}$.
  2. $\vec{b} = \vec{AC} - \vec{B'D'} + \vec{BD'} - \vec{BC}$.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Chứng minh các hệ thức vectơ, tìm điểm và tính độ dài vectơ

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $AB'D'$.

  1. Biểu diễn vectơ $\vec{A'G}$ theo $\vec{A'C}$.
  2. Tính độ dài của $\vec{A'G}$ trong trường hợp $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp đứng có các cạnh $AB=5, AD=6, AA'=10$ và $\widehat{ABC}=120^\circ$.

Đáp số: a) $\vec{A'G} = \dfrac{1}{3}\vec{A'C}$; b) $|\vec{A'G}| = \dfrac{1}{3}\sqrt{191}$

Lời giải:

Hướng dẫn giải

  1. Do G là trọng tâm tam giác $AB'D'$ nên ta có $\vec{A'G} = \dfrac{1}{3}(\vec{A'A}+\vec{A'B'}+\vec{A'D'})$.
    Mặt khác theo quy tắc hình hộp thì $\vec{A'A}+\vec{A'B'}+\vec{A'D'} = \vec{A'C}$. Suy ra $\vec{A'G} = \dfrac{1}{3}\vec{A'C}$.
  2. Áp dụng định lý cô sin trong tam giác $ABC$, ta có:
    $AC^2 = BA^2 + BC^2 - 2.BA.BC.\cos \widehat{ABC} = 5^2 + 6^2 - 2.5.6.\cos 120^\circ = 91$.
    Khi $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp đứng thì $A'AC$ là tam giác vuông tại $A$.
    Do đó $A'C^2 = A'A^2 + AC^2 = 100+91=191$. Vậy độ dài của $\vec{A'G}$ là $|\vec{A'G}| = \dfrac{1}{3}\sqrt{191}$.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Chứng minh các hệ thức vectơ, tìm điểm và tính độ dài vectơ

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài các vec tơ sau:

  1. $\vec{a} = \vec{BC} + \vec{AA'}$;
  2. $\vec{b} = \vec{AD}+\vec{C'C}+\vec{C'A'}$.

Đáp số: a) $\sqrt{2}$; b) $\sqrt{2}$

📊 GÓC GIỮA HAI VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vecto

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa hai vectơ:

  1. $(\vec{AD}, \vec{B'D'})$;
    Hướng dẫn giải
    Ta có $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{B'C'}$, suy ra
    $(\vec{AD}, \vec{B'D'}) = (\vec{B'C'}, \vec{B'D'}) = \widehat{C'B'D'} = 45^\circ$ (do $A'B'C'D'$ là hình vuông).
  2. $(\vec{AD}, \vec{B'C'})$;
  3. $(\vec{A'C'}, \vec{BD})$;
  4. $(\vec{AC}, \vec{B'C'})$.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vecto

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành có góc $\widehat{BCD}=135^\circ$ và mặt bên $SAB$ là tam giác đều. Tính góc giữa hai vectơ:

  1. $(\vec{AB}, \vec{BC})$;
  2. $(\vec{DC}, \vec{BS})$.

Đáp số: a) $135^\circ$; b) $60^\circ$

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vecto

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm của $ABCD$ và $M$ là trung điểm cạnh $SC$. Tính các tích vô hướng sau:

  1. $\vec{AD} \cdot \vec{BS}$;
    Hướng dẫn giải
    Ta có: $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và các tam giác $SAB, SBC, SCD, SDA$ là các tam giác đều cạnh $a$.
    Theo giả thiết ta có: $\vec{AD} = \vec{BC}$,
    Suy ra $(\vec{AD}, \vec{BS}) = (\vec{BC}, \vec{BS}) = \widehat{SBC} = 60^\circ$.
    Do đó $\vec{AD} \cdot \vec{BS} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{BS}| \cdot \cos(\vec{AD}, \vec{BS}) \Leftrightarrow \vec{AD} \cdot \vec{BS} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{a^2}{2}$.
  2. $\vec{BS} \cdot \vec{BD}$;
  3. $\vec{AS} \cdot \vec{SO}$;
  4. $\vec{AS} \cdot \vec{DB}$.

Đáp số: b) $a^2$; c) $-\dfrac{a^2}{2}$; d) $0$

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vecto

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng có độ dài bằng 2. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng $60^\circ$. Hãy tính:

  1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$;
  2. $(\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}-3\vec{b})$;
  3. $(\vec{a}+2\vec{b})^2$.

Đáp số: a) 2; b) -22; c) 28

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vecto

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, có cạnh $AB=a$ và mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Hãy tính:

  1. $\vec{SM} \cdot \vec{SB}$;
    Hướng dẫn giải
    Xét tam giác $SAB$ vuông cân tại $S, SM \perp AB$ và $AB=a$ có: $SA = SB = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$; $\widehat{BSM} = 45^\circ$.
    Do đó $\vec{SM} \cdot \vec{SB} = |\vec{SM}| \cdot |\vec{SB}| \cdot \cos(\vec{SM}, \vec{SB}) = \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \widehat{BSM} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{4} \cdot \cos 45^\circ$.
    Vậy $\vec{SM} \cdot \vec{SB} = \dfrac{a^2}{4}$.
  2. $\vec{CD} \cdot \vec{MS}$.
  3. $\vec{DC} \cdot \vec{AS}$;
  4. $\vec{DC} \cdot \vec{BS}$.

Đáp số: b) 0; c) $\dfrac{a^2}{2}$; d) $-\dfrac{a^2}{2}$

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vecto

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2a, CD=2\sqrt{3}a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC, AD$ và $MN = a\sqrt{7}$.

  1. Tính côsin góc tạo bởi hai vectơ $\vec{BA}$ và $\vec{MN}$.
  2. Tính tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$.

Đáp số: a) $\cos(\vec{BA}, \vec{MN}) = \dfrac{5\sqrt{7}}{14}$; b) $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 6a^2$

Lời giải:

Hướng dẫn giải

Không mất tính tổng quát, chọn $a=1$.

  1. Gọi $P$ là trung điểm $AC$, ta có $\vec{BA} = 2\vec{MP}$ và $\vec{NP} = \dfrac{1}{2}\vec{CD}$;
    Do đó $(\vec{BA}, \vec{MN}) = (\vec{MP}, \vec{MN}) = \widehat{NMP}$.
    Áp dụng định lí cô sin cho tam giác $NMP$, ta được
    $\cos \widehat{NMP} = \dfrac{MP^2 + MN^2 - NP^2}{2MN \cdot MP} = \dfrac{1^2 + (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{7}} = \dfrac{5\sqrt{7}}{14}$.
    Vậy côsin góc giữa hai vectơ $\vec{BA}$ và $\vec{MN}$ là $\cos(\vec{BA}, \vec{MN}) = \dfrac{5\sqrt{7}}{14}$.
  2. Ta có $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = \vec{AB} \cdot (-\vec{CD}) = -\vec{AB} \cdot \vec{CD}$.
    Mặt khác $\begin{cases} \vec{AB} = 2\vec{PM} \\ \vec{CD} = 2\vec{PN} \end{cases}$, do đó $(\vec{AB}, \vec{CD}) = (\vec{PM}, \vec{PN}) = \widehat{MPN}$.
    Áp dụng định lí cô sin cho tam giác $MPN$, ta được
    $\cos \widehat{MPN} = \dfrac{PM^2+PN^2-MN^2}{2.PM.PN} = \dfrac{1^2+(\sqrt{3})^2-(\sqrt{7})^2}{2.1.\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$;
    $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(\vec{AB}, \vec{CD}) = 2a \cdot 2a\sqrt{3} \cdot \cos \widehat{MPN} = -6a^2$.
    Vậy $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 6a^2$.

📊 PHÂN TÍCH VECTƠ VÀ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT SONG SONG, THẲNG HÀNG, ĐỒNG PHẲNG

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Phân tích vectơ và chứng minh các tính chất song song, thẳng hàng, đồng phẳng

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $O$ là tâm của hình bình hành $AA'B'B$ và $M$ là trung điểm $AB$. Đặt $\vec{AA'} = \vec{a}, \vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}$. Phân tích các vectơ sau theo ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

  1. $\vec{A'B}$ và $\vec{B'C}$;
    Hướng dẫn giải
    Ta có: $\vec{A'B} = \vec{A'A} + \vec{AB} = -\vec{AA'} + \vec{b} = -\vec{a}+\vec{b}$;
    $\vec{B'C} = \vec{B'B} + \vec{BC} = \vec{A'A} + \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AA'} - \vec{AB} + \vec{AC} = -\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$.
  2. $\vec{AB'}$ và $\vec{AC'}$;
  3. $\vec{BC'}$ và $\vec{A'M}$;
  4. $\vec{OC'}$ và $\vec{CO}$.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Phân tích vectơ và chứng minh các tính chất song song, thẳng hàng, đồng phẳng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\vec{AA'} = \vec{a}, \vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}$. Chứng minh rằng $\vec{B'C'} = \vec{c}-\vec{a}-\vec{b}$; $\vec{BC'} = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Phân tích vectơ và chứng minh các tính chất song song, thẳng hàng, đồng phẳng

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong mặt phẳng. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lấy các điểm $M, N$ sao cho $MA = \dfrac{1}{2}MC, NF = 2NB$ (như hình vẽ).

  1. Biểu diễn các vectơ $\vec{MN}, \vec{DE}$ theo $\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AF}$.
  2. Từ đó suy ra $MN // DE$.

Lời giải:

Hướng dẫn giải

  1. Ta có: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN} = \dfrac{1}{3}\vec{AC} + \vec{AB} + \vec{BN} = \dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AD})+\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{BF}$
    $= \dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AD}+\vec{AB}+\dfrac{1}{3}(\vec{AF}-\vec{AB}) = \vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AD}+\dfrac{1}{3}\vec{AF}$ (1)
    Ta có: $\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE} = -\vec{AD} + \vec{AF} + \vec{AB}$ (2) (quy tắc hình bình hành ABEF).
  2. Từ (1) và (2) ta suy ra $\vec{DE} = 3\vec{MN}$. Do đó hai vectơ $\vec{DE}, \vec{MN}$ cùng phương và $D, E, M, N$ không thẳng hàng nên $MN // DE$.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Phân tích vectơ và chứng minh các tính chất song song, thẳng hàng, đồng phẳng

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Điểm $M$ là trọng tâm tam giác $AFH$.

  1. Chứng minh rằng ba điểm $E,M,C$ thẳng hàng.
  2. Tính độ dài của $EM$ trong trường hợp $ABCD.EFGH$ là hình hộp đứng có các cạnh $AB=5, AD=6, AE=10$ và $\angle ABC = 120^\circ$.

Lời giải:

Hướng dẫn giải

  1. Để chứng minh $E,M,C$ thẳng hàng, ta sẽ chứng minh $\vec{EC} = k\vec{EM}$ với $k \in \mathbb{R}$.
    Do $M$ là trọng tâm của tam giác $AFH$ nên ta có: $\vec{EA}+\vec{EF}+\vec{EH}=3\vec{EM}$.
    Mặt khác, theo quy tắc hình hộp thì: $\vec{EA}+\vec{EF}+\vec{EH} = \vec{EC}$.
    Suy ra $\vec{EC} = 3\vec{EM}$. Vậy ba điểm $E,M,C$ thẳng hàng.
  2. Áp dụng định lí cô sin trong tam giác $ABC$, ta có: $AC^2 = 5^2+6^2-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 91$.
    Khi $ABCD.EFGH$ là hình hộp đứng thì $EAC$ là tam giác vuông tại $A$, do đó:
    $EC^2 = EA^2 + AC^2 = 100+91=191$.
    Suy ra: $EM = \dfrac{1}{3}\sqrt{191}$.

📊 BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Theo định luật II Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật $\vec{F} = m\vec{a}$, trong đó $\vec{a}$ là vectơ gia tốc (m/s$^2$), $\vec{F}$ là vectơ lực (N) tác dụng lên vật, $m$ (kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 kg một gia tốc 50 m/s$^2$ thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có $\vec{F} = m\vec{a}$, suy ra $|\vec{F}| = m|\vec{a}| = 0,5 \cdot 50 = 25$ (N).

Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng 0,5 kg một gia tốc 50 m/s$^2$ thì cần một lực đá có độ lớn là 25 N.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Một em nhỏ cân nặng $m=25$ kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30$^\circ$.

  1. Tính độ lớn của trọng lực $\vec{P} = m\vec{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\vec{g}$ có độ lớn là $g = 9,8$ m/s$^2$.
  2. Cho biết công $A$ (J) sinh bởi một lực $\vec{F}$ có độ dịch chuyển $\vec{d}$ được tính bởi công thức $A = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\vec{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Đáp số: a) 245 N; b) 428,75 J

Lời giải:

  1. Độ lớn của trọng lực $\vec{P}$ là: $|\vec{P}| = mg = 25 \cdot 9,8 = 245$ (N).
  2. Vectơ dịch chuyển $\vec{d}$ có độ dài 3,5 m và hướng theo cầu trượt. Trọng lực $\vec{P}$ có phương thẳng đứng. Góc giữa hai vectơ là $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
    Công sinh bởi trọng lực là: $A = \vec{P} \cdot \vec{d} = |\vec{P}| |\vec{d}| \cos(60^\circ) = 245 \cdot 3,5 \cdot \frac{1}{2} = 428,75$ (J).

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Trọng lực $\vec{P}$ là lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật, được tính bởi công thức $\vec{P}=m\vec{g}$, trong đó $m$ là khối lượng của vật (đơn vị: kg), $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do, có hướng đi xuống và có độ lớn $g=9,8$ m/s$^2$. Xác định hướng và độ lớn của trọng lực (đơn vị: N) tác dụng lên quả bóng có khối lượng 450 gam, kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Đáp số: 4,41

Lời giải:

Trọng lực $\vec{P}$ có hướng thẳng đứng từ trên xuống.
Đổi: 450 g = 0,45 kg.
Độ lớn của trọng lực là: $|\vec{P}| = mg = 0,45 \cdot 9,8 = 4,41$ (N).

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Nếu một vật có khối lượng $m$ (kg) thì lực hấp dẫn $\vec{P}$ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\vec{P} = m\vec{g}$, trong đó $\vec{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn $g=9,8$m/s$^2$. Tính gần đúng độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam, làm tròn đến hàng đơn vị của N.

Đáp số: 1 N

Lời giải:

Đổi: 102 g = 0,102 kg.
Độ lớn của lực hấp dẫn là: $|\vec{P}| = mg = 0,102 \cdot 9,8 = 0,9996$ (N).
Làm tròn đến hàng đơn vị, độ lớn của lực là 1 N.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Cho biết công $A$ (đơn vị: J) sinh bởi lực $\vec{F}$ tác dụng lên một vật được tính bằng công thức $A = \vec{F} \cdot \vec{d}$, trong đó $\vec{d}$ là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị của $|\vec{d}|$ là m) khi chịu tác dụng của lực $\vec{F}$. Một chiếc xe có khối lượng 1,5 tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêng 5$^\circ$ so với phương ngang. Tính công sinh bởi trọng lực $\vec{P}$ khi xe đi hết đoạn đường dốc dài 30 m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), biết rằng trọng lực $\vec{P}$ được xác định bởi công thức $\vec{P}=m\vec{g}$, với $m$ (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và $\vec{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn $g=9,8$m/s$^2$; kết quả được làm tròn đến hàng phần chục của KJ.

Đáp số: 38,4

Lời giải:

Ta có 1,5 tấn = 1500 kg.
Độ lớn của trọng lực tác dụng lên chiếc xe là: $|\vec{P}| = m|\vec{g}| = 1500 \cdot 9,8 = 14700$ (N).
Vectơ $\vec{d}$ biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là $|\vec{d}| = 30$ m, và góc $(\vec{P}, \vec{d}) = 90^\circ - 5^\circ = 85^\circ$.
Công sinh ra bởi trọng lực $\vec{P}$ khi xe đi hết đoạn đường dốc dài 30 m là:
$A = \vec{P} \cdot \vec{d} = |\vec{P}| \cdot |\vec{d}| \cdot \cos 85^\circ = 14700 \cdot 30 \cdot \cos 85^\circ \approx 38436$ (J) $\approx 38,4$ (KJ).

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Trong phòng thí nghiệm vật lý, một chất điểm đặt ở vị trí A của hình lập phương được tác động bởi ba lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ dọc theo hai cạnh và đường chéo lớn của hình lập phương đó (tham khảo hình vẽ). Biết độ lớn các lực trên hai cạnh bằng 2 N và 3 N, độ lớn lực dọc theo đường chéo lớn lập phương bằng 4 N. Tính độ lớn hợp lực $\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3$ theo đơn vị N, làm tròn đến hàng phần trăm.

Đáp số: 7,22

Lời giải:

Ta có: $|\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3|^2 = |\vec{F}_1|^2 + |\vec{F}_2|^2 + |\vec{F}_3|^2 + 2\vec{F}_1\cdot\vec{F}_2 + 2\vec{F}_1\cdot\vec{F}_3 + 2\vec{F}_2\cdot\vec{F}_3$; trong đó:

  • $2\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 = 0$ vì $\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2$.
  • Góc giữa cạnh và đường chéo của hình lập phương có cosin bằng $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
  • $2\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_3 = 2|\vec{F}_1||\vec{F}_3|\cos(\vec{F}_1, \vec{F}_3) = 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.
  • $2\vec{F}_2 \cdot \vec{F}_3 = 2|\vec{F}_2||\vec{F}_3|\cos(\vec{F}_2, \vec{F}_3) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$.

Do vậy $|\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3|^2 = 4+9+16+\frac{16\sqrt{3}}{3}+8\sqrt{3} = \frac{87+40\sqrt{3}}{3}$.
$\Rightarrow |\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3| = \sqrt{\frac{87+40\sqrt{3}}{3}} \approx 7,22$ N.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Ba lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3 N; 4 N. Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho, làm tròn đến hàng phần chục của N.

Đáp số: 5,4

Lời giải:

Do ba lực có phương đôi một vuông góc, độ lớn hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$ được tính bằng công thức:
$|\vec{F}| = \sqrt{|\vec{F}_1|^2 + |\vec{F}_2|^2 + |\vec{F}_3|^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4+9+16} = \sqrt{29} \approx 5,4$ N.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Một chất điểm ở vị trí đỉnh A của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{AD}, \vec{AB}$ và $\vec{AC'}$ như vẽ. Cường độ của các lực $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ tương ứng là 10 N, 10 N và 20 N. Tính cường độ hợp lực của $\vec{a}, \vec{b}$ và $\vec{c}$ theo đơn vị N (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp số: 32,6

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A là gốc tọa độ. Lực $\vec{a}$ theo trục Ox, $\vec{b}$ theo Oy, $\vec{c}$ theo đường chéo $\vec{AC'}$.
$\vec{a} = (10, 0, 0)$; $\vec{b} = (0, 10, 0)$.
Vectơ đơn vị của $\vec{AC'}$ là $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$.
$\vec{c} = 20 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$.
Hợp lực $\vec{R} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (10+\frac{20}{\sqrt{3}}, 10+\frac{20}{\sqrt{3}}, \frac{20}{\sqrt{3}})$.
$|\vec{R}| = \sqrt{(10+\frac{20}{\sqrt{3}})^2 + (10+\frac{20}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{20}{\sqrt{3}})^2} \approx 32,6$ N.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng $m=5$ kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $SA, SB, SC, SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60^\circ$ (Hình 21).

  1. Sử dụng công thức $\vec{P}=m\vec{g}$, trong đó $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10$m/s$^2$, tìm độ lớn của trọng lực $\vec{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm.
  2. Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Lời giải:

  1. Khối lượng $m=5$ kg, gia tốc $|\vec{g}| = 10$ m/s$^2$.
    Ta có $|\vec{P}| = 5 \cdot 10 = 50$ N.
  2. Xét $\triangle SOA$ vuông tại $O$ có $\widehat{ASO} = \widehat{ASC}/2 = 30^\circ$.
    Giả sử $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4$ là lực căng trên mỗi sợi dây $SA, SB, SC, SD$.
    Khi cân bằng, tổng các lực bằng $\vec{0}$. Hợp lực của các lực căng có phương thẳng đứng và độ lớn bằng $4|\vec{F}_1|\cos(30^\circ)$.
    $50 = 4|\vec{F}_1|\cos(30^\circ) = 4|\vec{F}_1|\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}|\vec{F}_1|$.
    $|\vec{F}_1| = \frac{25}{\sqrt{3}} \approx 14,4$ N.

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A, B, C$ trên đèn tròn sao cho các lực căng $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ lần lượt trên mỗi dây $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $|\vec{F}_1|=|\vec{F}_2|=|\vec{F}_3|=15$ (N). Tính trọng lượng của chiếc đèn đó.

Đáp số: $15\sqrt{3}$

Lời giải:

💡 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ về Bài toán thực tế ứng dụng vectơ trong không gian

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng 60$^\circ$. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.
Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị của N), biết rằng các lực căng $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4$ đều có cường độ là 4700 N và trọng lượng của khung sắt là 3000 N.

Đáp số: 13281

Lời giải:

📋 Danh sách slide