Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (2;-1;3), \vec{b} = (-1;5;2)$

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (2;1;0), \vec{b} = (-1;0;-2), \vec{c} = (m;-2;4)$.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho $\Delta ABC$, biết $A(-1;0;3), B(4;2;0), C(3;1;-3)$.

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;2;3), B(2;5;4), C(0;2;0)$.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ?

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;-1;1), B(-1;3;-1), C(5;-3;4)$.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ?

Câu 6. (THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A( – 1; 2; 1), B(2; -1; 3), C( 3; 5; -1)$. Điểm $M(a; b; c)$ trên mặt phẳng (Oyz) sao cho $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{CM}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có $2b+c$ bằng bao nhiêu?

Câu 7. (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa 2025) Trong không gian Oxyz, cho $A(1;2;0)$; $B(3;-1;2)$; $C(1;2;2)$ và điểm $M \in (Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = MA^2 + 2MB^2 - MC^2$.

Câu 8. (THPT Tiên Du - Bắc Ninh 2025) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, hình bình hành $ABCD$ có $A(-1; 3; 5), B(2; -3; 7), D(-4;1; -2)$.Hiệu giữa hoành độ với cao độ của điểm $C$ bằng bao nhiêu?

Câu 9. (THPT Tiên Du - Bắc Ninh 2025) Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A(1;-1;2), B(-1;1;1), C(-3;-3;4), D\left(1;\dfrac{1}{2};1\right)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng (Oxy). Khi biểu thức $T = -3\left(\dfrac{MA}{MD}\right)^2 - 2\left(\dfrac{MB}{MD}\right)^2 + \left(\dfrac{MC}{MD}\right)^2$ đạt giá trị lớn nhất thì hoành độ của điểm $M$ bằng bao nhiêu?

Câu 10. (THPT Thạch Thành 1 - Thanh Hóa 2025) Cho hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức véc tơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1} +\overrightarrow{DD_1} = k\overrightarrow{AC_1}$

Câu 11. (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa 2025) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ và $C(0;6;1)$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho $MA + MB = 10$. Tìm giá trị nhỏ nhất của MC ? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 12. (THPT Triệu Sơn 4 - Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A(4;1;0)$, $B(4;6;6)$, $C(5;6;2)$, $D(7;2;14)$ và điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn $MA=3, MB = 6, MC = 5, MD=13$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 13. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(2;3;-1)$, $B(-8;7;-3)$ và điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng (Oxy). Biết rằng $A, B,M$ thẳng hàng, hãy tính $2a-b+3c$.

Câu 14. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(5;0;0)$, $B(3;4;0)$ và điểm $C$ nằm trên trục Oz. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khi $C$ di chuyển trên trục Oz thì $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Câu 15. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(7;10;6)$. Hai điểm $M, N$ thay đổi trên mặt phẳng (Oxy) sao cho $MN = 4$. Khi $AM + BN$ nhỏ nhất, tính tổng hoành độ của $M$ và tung độ của $N$.

Câu 16. (HSG Hải Phòng 2025) Trong không gian Oxyz, cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tính giá trị $OI^2$ biết $A(2;2;-2), B(6;-4;2), C(8;-2;0)$.

Câu 17. (HSG Vũng Tàu 2025) Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(0;0;4)$ và $N\left(\dfrac{3}{2};2;6\right)$. Xét điểm $I(a;b;c)$ thay đổi sao cho $IN$ luôn vuông góc với $OM$ và diện tích tam giác $IMO$ bằng 8. Khi độ dài đoạn thẳng $IN$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị $5a +5b + c$ bằng bao nhiêu?

Câu 18. (THPT Cụm trường Hải Dương 2025) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2\,\text{(m)}, AD =3\,\text{(m)}$. Lấy hai điểm $M, N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{EN} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{EC}$. Độ dài đoạn $MN$ bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 19. (THPT Lê Xoay - Vĩnh Phúc 2025) Cho hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn các điều kiện $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, |\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{15}$. Đặt $\vec{u}=\vec{a}+\vec{b}$ và $\vec{v}=2k\vec{a}-\vec{b}, k\in\mathbb{R}$. Với $k = a+\dfrac{b\sqrt{c}}{d}$ thì $(\vec{u}; \vec{v}) = 60^\circ$. Tính $T = a-b+c+d$?

Câu 20. (THPT Lê Xoay - Vĩnh Phúc 2025) Cho hình chóp S.ABC với $SA = 3, SB = 4, SC = 5$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm của $S.ABC$ cắt các cạnh $SA, SB, SC$ tại các điểm $A_1, B_1, C_1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{SA_1^2} + \dfrac{1}{SB_1^2} + \dfrac{1}{SC_1^2}$ có dạng $\dfrac{a}{b}$, $a,b\in\mathbb{Z}, b \ne 0; a,b$ nguyên tố cùng nhau. Tính $a + 2b$?

Câu 21. (THPT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh 2025) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm $A(2;3;4)$ và $B(1;1;2)$. Giả sử điểm $M(m;n;0)$ thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tổng khoảng cách $MA + MB$ ngắn nhất. Tính $T = 2m-n$.

Câu 22. (Sở Vĩnh Phúc 2025) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết $A(1;-1;2), B(-2;0;3),C(0;1;-2)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} +4\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T=16a+16b+3c$.

Câu 23. (Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;-1;2)$, đường thẳng $ :\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$. Xét đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(P)$ tại hai điểm $M, N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. Biết vectơ $\vec{u} = (1; a; b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Tính $a+b$.

Câu 24. (Chuyên Hạ Long 2025) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Gọi $D(a;b;c)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} = \vec{0}$. Tính giá trị của biểu thức $a+b+c$.

Câu 25. (Sở Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(3;-2;-1)$, $B(1;4;6)$, $C(3;38;-16)$, $D(2;5;1)$. Điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn biểu thức $P = MD^4 - \dfrac{16}{3}MD^3 - 4MA^2 - 5MB^2 - MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = a+b+c$? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 26. (Cụm trường Hải Dương 2025) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm $A(2;-1;2)$, $B(1;4;-3)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$. Đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ luôn đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$. Khi khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $d$ nhỏ nhất thì đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a;1;b)$. Giá trị của $4a+b$ bằng bao nhiêu?

Câu 27. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2025) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):(x-1)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 10$ và hai điểm $A(1;2;-4)$, $B(1;2;14)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = MA+2MB$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 28. (THPT Sào Nam - Quảng Nam 2025) Trong không gian Oxyz, tính thể tích lớn nhất của khối tứ diện OABC? (kết quả làm tròn chính xác đến hàng phần trăm) biết $A(a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(0;0;b)$ với $|a|+|b|=4$.

Câu 29. (THPT Sào Nam - Quảng Nam 2025) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(-4;0;2024)$; $B(1;-1;2025)$ và điểm $M(a;b;0)$ sao cho $MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất. Giá trị nguyên của $a + b$ bằng bao nhiêu?

Câu 30. (THPT Lê Thánh Tông - Nguyễn Khuyến HCM 2025) Để tiện cho việc đo đạc một chi tiết sản phẩm kỹ thuật, kỹ sư tạo một mô hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ với $AB = 4\,\text{cm}, AC = 6\,\text{cm}, AA' = 5\,\text{cm}, \widehat{A'AB} = 60^\circ, \widehat{A'AC} = 30^\circ, \widehat{BAC} = 45^\circ$. Do yêu cầu kỹ thuật, kỹ sư cần tính khoảng cách từ trung điểm $M$ của cạnh $AB$ đến trung điểm $N$ của cạnh $A'C'$, khoảng cách đó bằng bao nhiêu centimet? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Câu 31. (THPT Lê Hồng Phong - Hải Phòng 2025) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm $A(2;-1;6), B(1;1;2), C(-3;-2;4), D(1;6;-4)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng (Oyz). Khi biểu thức $T = \left(\dfrac{MA}{MD}\right)^2 - 3\left(\dfrac{MB}{MD}\right)^2 + \left(\dfrac{MC}{MD}\right)^2$ đạt giá trị lớn nhất thì tung độ của điểm $M$ bằng bao nhiêu?

Câu 32. (Sở Bạc Liêu 2025) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\begin{cases} x=1+2t
y=-1+3t
z=2-t \end{cases}$. Biết rằng điểm $M(3;a;b)$ thuộc $\Delta$. Khi đó tổng tung độ và cao độ của điểm $M$ bằng bao nhiêu?

Câu 33. (Sở Bạc Liêu 2025) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P):x+2y+2z+5=0$ và $(Q):x+2y+2z-1=0$ là bao nhiêu?

Câu 34. (Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(2;1;1)$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-3}{-1} = \dfrac{y-3}{1} = \dfrac{z+1}{-2}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, song song với mặt phẳng $(Q):x-2y+z-3=0$ và tạo với $d$ góc nhỏ nhất. Gọi $A(-8;a;b)$ là một điểm nằm trên đường thẳng $\Delta$. Tính giá trị $a+b$.

Câu 35. (THPT Triệu Sơn 1 - Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, biết rằng $A(-3;0;0), B(0;2;0), D(0;0;1), A'(1;2;3), C'(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $M = a-b-c+7$.

Câu 36. (Sở Hòa Bình 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+2}{1}$ và mặt phẳng $(P): 3x-y+z-25=0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục Oz tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 37. (THPT DTNT - Nghệ An 2025) Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a}, \vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}|= 1, |\vec{b}| = 4, (\vec{a},\vec{b}) = 60^\circ$. Tính $|3\vec{a} - 2\vec{b}|^2$.

Câu 38. (THPT Hoằng Hóa 2-Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-4;7;5)$.Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác ABC là $(a;b;c)$. Tổng $T = a+b+c$.

Câu 39. (Cụm Chương Mỹ - Thanh Oai 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(3;2;2), B(5;6;0)$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm $M(a;b;c)$. Tính $P=3a+2b-c$.

Câu 40. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;2;-1), C(3;-4;1), B'(2;-1;3), D'(0;3;5)$. Giả sử tọa độ điểm $A'(x;y;z)$ thì $x+y+z$ là

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $B(1;2;-3)$ và $C(7;4;-2)$. Gọi $E(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn đẳng thức $\vec{CE}=2\vec{EB}$ khi đó $x+y+z$ bằng

Câu 42. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm $A(2;0;0), B(0;3;1), C(-3;6;4)$. Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho $MC = 2MB$. Tính độ dài đoạn AM (Kết quả được làm tròn ở chữ số thập phân thứ nhất)

Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M(2;2;1), N\left(-\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3}\right), E(2;2;3)$. Gọi $I(a,b,c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN. Tính độ dài IE.

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(-2;3;1)$ và $B(5;6;2)$. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số $\dfrac{AM}{BM}$.

Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;1;-2)$ và $\vec{v}=(1;0;m)$. Gọi S là tập hợp các giá trị m để hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ tạo với nhau một góc 45°. Số phần tử của S là bao nhiêu?