📘 BÀI 1
Môn Toán - Lớp 12
📘 BÀI TẬP
Câu 1. (THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa 2025) Một nhóm học sinh gồm 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một học sinh trong nhóm đó tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường?
Câu 2. (THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa 2025) Thầy Kiệt khảo sát chiều cao của 52 học sinh khối 12 trường THPT Đào Duy Từ thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Khoảng chiều cao (cm) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) & [175;180)
\hline
Số học sinh & 7 & 14 & 10 & 12 & 9
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là
Câu 3. (THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa 2025) Cho mẫu số liệu điểm môn Toán của một nhóm học sinh như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10]
\hline
Số học sinh & 8 & 7 & 10 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Mốt của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:
Câu 4. (THPT Lương Tài 2 - Bắc Ninh 2025) Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2024 của lớp 12D tại một trường THPT thu được kết quả như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [3;4) & [4;5) & [5;6) & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10]
\hline
Tần số & 3 & 4 & 5 & 10 & 15 & 10 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu thống kê trên bằng
Câu 5. (THPT Văn Giang - Hưng Yên 2025) Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 5 & 9 & 12 & 10 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
Câu 6. (THPT Tiên Du - Bắc Ninh 2025) Khảo sát thời gian xem tự học trung bình vào buổi tối của học sinh lớp 12A thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0; 30) & [30; 60) & [60; 90) & [90; 120) & [120;150) & [150;180)
\hline
Số học sinh & 5 & 9 & 12 & 8 & 5 & 8
\hline
\end{tabular} \end{center}
Giá trị đại diện của nhóm [60;90) là
Câu 7. (THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh 2025) Thống kê số phút học bài ở nhà buổi tối của 100 học sinh ta có bảng phân bố tần số ghép nhóm như sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Số phút & [30;60) & [60;90) & [90;120) & [120;150)
\hline
Số học sinh & 18 & 15 & 42 & 25
\hline
\end{tabular} \end{center}
Số học sinh có thời gian học ít hơn 90 phút trong số học sinh trên là
Câu 8. (THPT Gia Bình - Bắc Ninh 2025) Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một nhóm học sinh thu được kết quả sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;4) & [4;8) & [8;12) & [12;16) & [16;20)
\hline
Số học sinh & 2 & 4 & 7 & 4 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là
Câu 9. (Sở Ninh Bình 2025) Để chuẩn bị cho tiết học “Mạng xã hội: lợi và hại” Hoạt động thực hành trải nghiệm môn Toán, lớp 10), giáo viên đã khảo sát thời gian sử dụng mạng xã hội trong một ngày của học sinh trong lớp 10A1 mình dạy và thu được mẫu số liệu như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian sử dụng & & & & & &
mạng xã hội (phút) & [10;20) & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60) & [60;70)
\hline
Số học sinh & 5 & 10 & 15 & 7 & 5 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Thời gian trung bình (phút) sử dụng mạng xã hội của học sinh lớp 10A1 xấp xỉ bằng
Câu 10. (THPT Thuận Thành 1&2 - Bắc Ninh 2025) Kết quả khảo sát cân nặng của một thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cân nặng (g) & [150;155) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175)
\hline
Số quả táo & 4 & 7 & 12 & 6 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
Câu 11. (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa 2025) Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 5 & 9 & 12 & 10 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
Câu 12. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Người ta ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ và có được bảng số liệu sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
48,5 & 43 & 50 & 55 & 45 & 60 & 53 & 55,5 & 44 & 65
\hline
51 & 62,5 & 41 & 44,5 & 57 & 57 & 68 & 49 & 46,5 & 53,5
\hline
61 & 49,5 & 54 & 62 & 59 & 56 & 47 & 50 & 60 & 61
\hline
49,5 & 52,5 & 57 & 47 & 50 & 55 & 45 & 47,5 & 48 & 61,5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Ghép nhóm bảng số liệu trên thành các nhóm có độ rộng bằng nhau và nhóm đầu tiên là nửa khoảng [40;45) thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm nói trên là
Câu 13. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số như sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [16; 21) & [21; 26) & [26; 31) & [31; 36) & [36; 41)
\hline
Tần số & 4 & 6 & 8 & 18 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính số trung bình của mẫu số liệu trên
Câu 14. (HSG Hải Phòng 2025) Bảng dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian chạy cự li 100m của 20 vận động viên trong một buổi luyện tập (đơn vị: giây)
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [10,2;10,4) & [10,4;10,6) & [10,6;10,8) & [10,8;11)
\hline
Tần số & 3 & 7 & 8 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Số trung bình của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Câu 15. (THPT Kinh Môn - Hải Dương 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian hoàn thành (phút) một bài kiểm tra trực tuyến của 100 học sinh, ta có bảng số liệu sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [33;35) & [35;37) & [37;39) & [39;41) & [41;43) & [43;45)
\hline
Số học sinh & 4 & 13 & 38 & 27 & 14 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Thời gian trung bình để 100 học sinh hoàn thành bài kiểm tra là
Câu 16. (HSG Vũng Tàu 2025) Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo sơ mi nam (cổ tròn). Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [50;60) & [60;70) & [70;80) & [80;90) & [90;100) &
\hline
Tần số & 4 & 5 & 23 & 5 & 3 & N = 40
\hline
\end{tabular} \end{center}
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị) có giá trị là
Câu 17. (THPT Triệu Sơn 1-Thanh Hóa 2025) Thống kê điểm kiểm tra giữa kỳ 1 môn Toán của 30 học sinh lớp 12B được ghi lại ở bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [2;4) & [4;6) & [6;8) & [8;10)
\hline
Số học sinh & 2 & 5 & 7 & 16
\hline
\end{tabular} \end{center}
Số trung vị của mẫu số liệu trên gần nhất với số nào trong các số sau?
Câu 18. (THPT Lê Xoay - Vĩnh Phúc 2025) Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 10 Trường THPT Lê Xoay ta được kết quả:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiều cao (cm) & [150;152) & [152;154) & [154;156) & [156;158) & [158;160) & [160;162) & [162;168)
\hline
Số học sinh & 5 & 18 & 40 & 25 & 8 & 3 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Số học sinh có chiều cao từ 156cm trở lên là
Câu 19. (Cụm trường THPT Bắc Ninh 2025) Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh lớp 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 2 & 11 & 15 & 6 & 7
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là
Câu 20. (Sở Hà Tĩnh 2025) Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 12 tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thông báo kết quả thu nhặt vỏ chai của học sinh khối 12 ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Số vỏ chai nhựa & [10,5;15,5) & [15,5;20,5) & [20,5;25,5) & [25,5;30,5) & [30,5;35,5)
\hline
Số học sinh & 53 & 82 & 48 & 39 & 18
\hline
\end{tabular} \end{center}
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên
Câu 21. (Chuyên Hạ Long 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [4;6) & [6;8) & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16)
\hline
Tần số & 3 & 5 & 8 & 9 & 6 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính số trung bình của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Câu 22. (Chuyên Thái Bình 2025) Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một nhóm học sinh thu được kết quả sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;4) & [4;8) & [8;12) & [12;16) & [16;20)
\hline
Số học sinh & 2 & 4 & 7 & 4 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là
Câu 23. (THPT Trần Nguyên Hãn - Hải Phòng 2025) Số liệu thống kê điểm kiểm tra giữa kì I môn toán của lớp 11A
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
Số điểm & [4;7) & [7;9) & [9;10]
\hline
Số học sinh & 21 & 15 & 9
\hline
\end{tabular} \end{center}
Điểm trung bình lớp 11A (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:
Câu 24. (Sở Vĩnh Phúc 2025) Cân nặng theo thống kê của một nhóm học sinh cho ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cân nặng (kg) & [40;45) & [45;50) & [50;55) & [55;60) & [60;65)
\hline
Tần số & 5 & 10 & 8 & 7 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Câu 25. (Cụm trường Hưng Yên 2025) Cô Hải thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở sân trường thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Đường kính (cm) & [40;45) & [45;50) & [50;55) & [55;60) & [60;65)
\hline
Tần số & 5 & 20 & 18 & 7 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Câu 26. (Cụm trường Hải Dương 2025) Thống kê điểm môn Toán của một số học sinh trong đợt khảo sát lần 1, ta được kết quả như bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [6,5; 7) & [7; 7,5) & [7,5; 8) & [8; 8,5) & [8,5; 9) & [9; 9,5) & [9,5; 10)
\hline
Số học sinh & 7 & 10 & 17 & 24 & 13 & 8 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng
Câu 27. (Sở Thừa Thiên Huế 2025) Các bạn học sinh lớp 11A trả lời 40 câu hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Số câu trả lời đúng & [16;21) & [21;26) & [26;31) & [31;36) & [36;41)
\hline
Số học sinh & 4 & 6 & 8 & 18 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Xác định nhóm có tần số lớn nhất.
Câu 28. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2025) Để chuẩn bị cho tiết học “ Mạng xã hội: Lợi và hại” ( Hoạt động thực hành trải nghiệm môn Toán, lớp 10), giáo viên đã quan sát thời gian sử dụng mạng xã hội trong một ngày của học sinh trong lớp 10B minh họa và thu được mẫu số liệu sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian sử dụng (Phút) & [10;20) & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60) & [60;70)
\hline
Số học sinh & 7 & 15 & 10 & 5 & 4 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Thời gian trung bình (phút) sử dụng mạng xã hội của học sinh lớp 10B xấp xỉ bằng:
Câu 29. (THPT Sào Nam - Quảng Nam 2025) Thống kê điểm kiểm tra học kì 1 môn Toán của 300 học sinh lớp 12 được mô tả ở bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [2;4) & [4;6) & [6;8) & [8;10]
\hline
Số học sinh & 20 & 50 & 70 & 160
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính số trung bình của mẫu số liệu trên làm tròn đến hàng phần trăm.
Câu 30. (THPT Anh Sơn 3 - Nghệ An 2025) Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là
Câu 31. (THPT Trực Ninh - Nam Định 2025) Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [8;11) & [11;14) & [14;17) & [17;20) & [20;23) &
\hline
Tần số & 5 & 6 & 8 & 7 & 4 & n=30
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
Câu 32. (Sở Ninh Bình 2025) Thống kê số điện (kWh) của 30 lớp học ở trường THPT X dùng trong một tháng được kết quả sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Số điện(kWh) & [50;60) & [60;70) & [70;80) & [80;90) & [90;100) & [100;110)
\hline
Số lớp & 1 & 5 & 6 & 9 & 7 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng bao nhiêu?
Câu 33. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Số lượng khách nữ mua hàng thời trang một ngày của cửa hàng được thống kê trong bảng tần số ghép nhóm như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Khoảng tuổi & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60) & [60;70)
\hline
Số khách hàng nữ & 3 & 9 & 6 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Câu 34. (Sở Bạc Liêu 2025) Người ta thống kê tốc độ của một số xe ô tô di chuyển qua một trạm kiểm soát trên đường cao tốc trong một khoảng thời gian ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Tốc độ (km/h) & [75;80) & [80;85) & [85;90) & [90;95) & [95;100)
\hline
Số xe & 17 & 20 & 23 & 25 & 15
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
Câu 35. (Sở Hà Nội 2025) Cân nặng (kg) của 50 quả mít trong đợt thu hoạch của một trang trại được thống kê trong bảng dưới đây
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cân nặng (kg) & [4;6) & [6;8) & [8;10) & [10;12) & [12;14)
\hline
Số quả mít & 6 & 12 & 19 & 9 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khối lượng trung bình của 50 quả mít trên là
Câu 36. (Sở Hà Nội 2025) Bảng thống kê dưới đây cho biết thu nhập bình quân đầu người/tháng của người dân Hà Nội (tính theo triệu đồng) trong giai đoạn từ năm 2018 đến năm 2024:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Năm & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 & 2022 & 2023 & 2024
\hline
Thu nhập (triệu đồng/tháng) & 5,901 & 6,403 & 6,203 & 6,002 & 6,423 & 6,896 & 7,546
\hline
\end{tabular} \end{center}
Mẫu số liệu trong bảng thống kê trên có khoảng biến thiên bằng bao nhiêu? (Tính theo triệu đồng)
Câu 37. (Sở Tuyên Quang 2025) Bảng dưới đây thống kê cự ly ném tạ của một vận động viên
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cự ly (m) & [19;19,5) & [19,5;20) & [20;20,5) & [20,5;21) & [21;21,5)
\hline
Tần số & 13 & 45 & 24 & 12 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Câu 38. (THPT Triệu Sơn 1 - Thanh Hóa 2025) Thống kê lợi nhuận hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 tháng của một nhà đầu tư được cho như sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Lợi nhuận & [10;20) & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60)
\hline
Số tháng & 2 & 4 & 8 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Lợi nhuận trung bình một tháng của nhà đầu tư là bao nhiêu triệu đồng?
Câu 39. (Chuyên Phan Bội Châu - Hà Tĩnh 2025) Mỗi ngày ông An đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của ông An trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
Câu 40. (Sở Bắc Ninh 2025) Kết quả khảo sát về chi phí trung bình cho mỗi suất ăn trưa cho các bạn sinh viên được tổng kết lại ở bảng số liệu sau (đơn vị: nghìn đồng).
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Giá tiền ăn & [25;30) & [30;35) & [35;40) & [40;45)
\hline
Số sinh viên & 90 & 48 & 25 & 17
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng
Câu 41. (THPT Anh Sơn 3 - Nghệ An 2025) Cô Hà thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Đường kính (cm) & [40;45) & [45;50) & [50;55) & [55;60) & [60;65)
\hline
Tần số & 5 & 20 & 18 & 7 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Câu 42. (Sở Đà Nẵng 2025) Khảo sát thời gian tự học của một số học sinh lớp 11 trong một ngày, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;30) & [30;60) & [60;90) & [90;120) & [120;150)
\hline
Số học sinh & 8 & 14 & 11 & 9 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
Câu 43. (Sở Lào Cai 2025) Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Lượng nước tiêu thụ (m$^3$) & [3;6) & [6;9) & [9;12) & [12;15) & [15;18)
\hline
Số hộ gia đình & 20 & 60 & 40 & 32 & 7
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Câu 44. (Sở Quảng Nam 2025) Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại trong một ngày của một lớp học thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 7 & 11 & 15 & 6 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng
Câu 45. (Sở Long An 2025) Mỗi ngày bạn Nam đều làm bài tập môn Toán có bảng thống kê ghép nhóm về thời gian làm bài tập mỗi ngày của bạn Nam (đơn vị: phút) trong 60 ngày như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [70;80) & [80;90) & [90;100) & [100;110) & [110;120)
\hline
Số ngày & 1 & 7 & 24 & 3 & 25
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mấu số liệu ghép nhóm là
Câu 46. (Liên Trường Nghệ An 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm tần số như bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Giá trị & [135;140) & [140;145) & [145;150) & [150;155) & [155;160) & [160;165)
\hline
Tần số & 6 & 10 & 12 & 20 & 8 & 14
\hline
\end{tabular} \end{center}
Mốt của mẫu số liệu đã cho là:
Câu 47. (THPT Hoằng Hóa 2-Thanh Hóa 2025) Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 5 & 9 & 12 & 10 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Mốt của mẫu số liệu trên là
Câu 48. (Cụm Ninh Giang - Tứ Kỳ - Gia Lộc 2025) Cô Hà thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng cây ở một lâm trường ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Đường kính (cm) & [40;45) & [45;50) & [50;55) & [55;60) & [60;65)
\hline
Tần số & 5 & 20 & 18 & 7 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?
Câu 49. (Sở Vũng Tàu 2025) Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Trung bình mỗi ngày bác Hương đi bộ được bao nhiêu km?
Câu 50. (THPT Mai Trúc Loan - Hà Tĩnh 2025) Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng)
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Doanh thu & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15)
\hline
Số ngày & 2 & 7 & 7 & 3 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là giá trị nào trong các giá trị sau?
Câu 51. (Cụm Chương Mỹ - Thanh Oai 2025) Anh Thắng ghi lại cự li 20 lần ném tạ sắt 3 kg của mình ở bảng sau (đơn vị: mét):
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cự li (m) & [9,2;10) & [10;10,8) & [10,8;11,6) & [11,6;12,4) & [12,4;13,2)
\hline
Số lần & 4 & 1 & 7 & 5 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném tạ xa từ bảng trên
Câu 52. (Cụm Chuyên Môn Đăk Lak 2025) Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;4) & [4;8) & [8;12) & [12;16) & [16;20)
\hline
Số học sinh & 2 & 4 & 7 & 4 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tìm khoảng biến thiên cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Câu 53. (Sở Bắc Ninh 2025) Người ta thống kê tốc độ của một số xe ôtô di chuyển qua một trạm kiểm soát trên đường cao tốc trong một khoảng thời gian ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Tốc độ (km/h) & [75;80) & [80;85) & [85;90) & [90;95) & [95;100)
\hline
Số xe & 15 & 22 & 28 & 34 & 19
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng?
Câu 54. (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội 2025) Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Nhóm & Giá trị đại diện & Tần số
\hline
$[a_1;a_2)$ & $x_1$ & $n_1$
\hline
$[a_2;a_3)$ & $x_2$ & $n_2$
\hline
... & ... & ...
\hline
$[a_m;a_{m+1})$ & $x_m$ & $n_m$
\hline
& & n
\hline
\end{tabular} \end{center}
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên được xác định bởi công thức nào sau đây?
Câu 55. (THPT Nguyễn Quốc Trinh - Hà Nội 2025) Cho mẫu số liệu điểm môn Toán của một nhóm học sinh như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [4;5) & [5;6) & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10]
\hline
Số học sinh & 3 & 5 & 8 & 15 & 10 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Trung vị của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:
Câu 56. (Sở Nghệ An 2025) Bạn Nhi thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12A1 ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiều cao (cm) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) & [175;180) & [180;185)
\hline
Số học sinh & 6 & 8 & 10 & 4 & 1 & 10
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là
Câu 57. (Sở Hải Phòng 2025) Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Mức giá (triệu đồng/m$^2$) & [10;14) & [14;18) & [18;22) & [22;26) & [26;30)
\hline
Số khách hàng & 54 & 78 & 120 & 45 & 12
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
Câu 58. (Sở Gia Lai 2025) Thống kê điểm kiểm tra học kì 1 môn Toán của 300 học sinh lớp 12 được mô tả ở bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [2;4) & [4;6) & [6;8) & [8;10)
\hline
Số học sinh & 20 & 50 & 70 & 160
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
Câu 59. (Sở Thái Bình 2025) Thời gian hoàn thành bài kiểm tra cuối học kỳ 2 môn toán của các bạn học sinh lớp 12A được cho trong bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian(phút) & [65;70) & [70;75) & [75;80) & [80;85) & [85;90)
\hline
Số học sinh & 2 & 3 & 15 & 20 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
Câu 60. (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc 2025) Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ được cho trong bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Cân nặng (g) & [150;155) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) & [175;180]
\hline
Số quả & 2 & 4 & 7 & 8 & 3 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) của mẫu số liệu trên thuộc nhóm thứ mấy (các nhóm đánh số thứ tự từ trái sang phải)?
Câu 61. (THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc 2025) Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [9,5;12,5) & [12,5;15,5) & [15,5;18,5) & [18,5;21,5) & [21,5;24,5]
\hline
Số học sinh & 3 & 12 & 15 & 24 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:
Câu 62. (THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa 2025) Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là $Q_1 = 3, Q_2 = 5, Q_3=9$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
Câu 63. (THPT Lý Thường Kiệt - Hà Nội 2025) Tìm hiểu thời gian xem tivi trong tuần trước của một số học sinh thu được kết quả sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (giờ) & [0;5) & [5;10) & [10;15) & [15;20) & [20;25) & [25;30)
\hline
Số học sinh & 8 & 16 & 4 & 6 & 2 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là
Câu 64. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, người ta thu được bảng số liệu sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (giờ) & [4;5) & [5;6) & [6;7) & [7;8) & [8;9)
\hline
Số lượng & 6 & 12 & 13 & 10 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của bảng số liệu trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Câu 65. (THPT Nguyễn Khuyến - Lê Thánh Tông 2025) Theo thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh đã trúng tuyển vào 10 năm học 2024 – 2025 của Trường TH – THCS – THPT Lê Thánh Tông được kết quả như bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Khoảng điểm & [6,5;7) & [7;7,5) & [7,5;8) & [8;8,5) & [8,5;9) & [9;9,5) & [9,5;10)
\hline
Tần số & 7 & 10 & 17 & 24 & 13 & 8 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
Câu 66. (THPT Cụm trường Hải Dương 2025) Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng).
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Doanh thu & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15)
\hline
Số ngày & 2 & 7 & 7 & 3 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
Câu 67. (THPT Cụm trường Hải Dương 2025) Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị centimét).
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Doanh thu & [30;40) & [40;50) & [50;60) & [60;70) & [70;80) & [80;90)
\hline
Số ngày & 4 & 10 & 14 & 6 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm nào dưới đây?
Câu 68. (Sở Vĩnh Phúc 2025) Mỗi ngày bác An đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác An trong 20 ngày được thống kê ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
Câu 69. (THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một học sinh được cho trong bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [9,5; 12,5) & [12,5; 15,5) & [15,5; 18,5) & [18,5; 21,5) & [21,5; 24,5)
\hline
Số học sinh & 3 & 12 & 15 & 24 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là?
Câu 70. (Chuyên Thái Bình 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm với bộ ba tứ phân vị lần lượt là $Q_1 = 11,5; Q_2 = 14,5; Q_3 = 21,3$. Khi đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là
Câu 71. (Cụm trường Nghệ An 2025) Một cửa hàng quần áo khảo sát một số khách hàng xem họ dự định mua quần áo cho trẻ em với mức giá nào (đơn vị: nghìn đồng). Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Mức giá & [60;90) & [90;120) & [120;150) & [150;180) & [180;210)
\hline
Số khách hàng & 20 & 75 & 48 & 25 & 12
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng $[a;b), (a,b \in \mathbb{R})$ chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Tính tổng $S=a+b$ được kết quả là
Câu 72. (THPT Trực Ninh - Nam Định 2025) Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này gần nhất với số nào?
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (đơn vị: giây) & [0;60) & [60;120) & [120;180) & [180;240) & [240;300) & [300;360)
\hline
Số cuộc gọi & 8 & 10 & 7 & 5 & 2 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Câu 73. (Sở Phú Thọ 2025) Kết quả đo chiều cao của 100 cây keo ba năm tuổi tại một nông trường được cho bởi bảng sau.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiều cao (m) & [8,4;8,6) & [8,6;8,8) & [8,8;9,0) & [9,0;9,2) & [9,2;9,4)
\hline
Số cây & 5 & 12 & 25 & 44 & 14
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng
Câu 74. (Sở Thái Nguyên 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm về quãng đường chạy bộ (km) và số ngày chạy bộ như bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường chạy bộ & [1,2;2,2) & [2,2;3,2) & [3,2;4,2) & [4,2;5,2) & [5,2;6,2)
\hline
Số ngày chạy bộ & 2 & 1 & 7 & 8 & 8
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng
Câu 75. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 2025) Lợi nhuận hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong 24 tháng của một nhà đầu tư tài chính được cho trong bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Lợi nhuận & [5;15) & [15;25) & [25;35) & [35;45) & [45;55)
\hline
Số tháng & 3 & 7 & 9 & 4 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là
Câu 76. (THPT Lê Hồng Phong - Hải Phòng 2025) Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam). Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [30;40) & [40;50) & [50;60) & [60;70) & [70;80) & [80;90)
\hline
Tần số & 2 & 10 & 16 & 8 & 2 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Câu 77. (Sở Quảng Bình 2025) Điểm kiểm tra 15 phút của lớp 12A được cho bởi bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [3;4) & [4;5) & [5;6) & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10)
\hline
Số học sinh & 3 & 8 & 7 & 12 & 7 & 1 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là
Câu 78. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần luyện tập giải khối rubik 3x3, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian giải rubik (giây) & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18)
\hline
Số lần & 4 & 6 & 8 & 4 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng $\dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b \in \mathbb{Z}$
Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$.
Câu 79. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2025) Cho bảng thống kê doanh số bán hàng của 100 nhân viên ở một trung tâm thương mại trong một tuần như sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Doanh số (triệu đồng) & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60) & [60;70) & [70;80)
\hline
Số nhân viên & 25 & 20 & 20 & 15 & 14 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Trung tâm thương mại dự định chọn 25\% số nhân viên có doanh số bán hàng cao nhất để trao thưởng. Theo mẫu số liệu trên, trung tâm thương mại nên khen thưởng các nhân viên có doanh số bán hàng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Câu 80. (Sở Yên Bái 2025) Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là $Q_1 = 4; Q_2=6; Q_3=9$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng
Câu 81. (Sở Hòa Bình 2025) Mỗi ngày bác Hoa đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hoa trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,5;3,0) & [3,0;3,5) & [3,5;4,0) & [4,0;4,5) & [4,5;5,0)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 4 & 2 &
\hline
Tần số tích lũy & 3 & 9 & 14 & 18 & 20
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là
Câu 82. (Sở Sơn La 2025) Mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một công ty (đơn vị: triệu đồng) được cho trong bảng dưới đây.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm (đơn vị: triệu đồng) & [6;8) & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16)
\hline
Tần số & 6 & 14 & 18 & 10 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho (làm tròn đến hàng phần trăm) là
Câu 83. (Sở Phú Thọ 2025) Hai mẫu số liệu ghép nhóm A, B có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm A
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [0;10) & [10;20) & [20;30) & [30;40) & [40;50)
\hline
Tần số & 8 & 9 & 5 & 6 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nhóm B
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [0,3;10,3) & [10,3;20,3) & [20,3;30,3) & [30,3;40,3) & [40,3;50,3)
\hline
Tần số & 16 & 18 & 10 & 12 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Gọi $\Delta_{Q_A}, \Delta_{Q_B}$ lần lượt là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm A, B. Phát biểu nào sau đây đúng:
Câu 84. (Sở Bình Thuận 2025) Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc nhóm nào sau đây?
Câu 85. (THPT DTNT - Nghệ An 2025) Cho bảng liệu thống kê dưới đây.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [18;22) & [22;26) & [26;30) & [30;34) & [34;38)
\hline
Tần số & 5 & 5 & 10 & 7 & 9
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
Câu 86. (Sở Vũng Tàu 2025) Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài cát Hòa Lộc được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường như sau.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cân nặng (g) & [250;290) & [290;330) & [330;370) & [370;410) & [410;450)
\hline
Số quả xoài & 3 & 13 & 18 & 11 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu thống kê trên là
Câu 87. (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai 2025) Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
Câu 88. (Sở Hậu Giang 2025) Thời gian chờ khám của các bệnh nhân tại một phòng khám được cho trong bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;5) & [5;10) & [10;15) & [15;20)
\hline
Số bệnh nhân & 3 & 12 & 15 & 8
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn đến hàng phần trăm) là
Câu 89. (Sở Lai Châu 2025) Trọng lượng của 20 củ sâm trong một lô củ sâm được thu hoạch sau sáu năm trồng tại một cơ sở trồng sâm Lai Châu có bảng tần số ghép nhóm sau (đơn vị: gam):
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [40;45) & [45;50) & [50;55) & [55;60)
\hline
Tần số & 3 & 7 & 8 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là:
Câu 90. (Cụm chuyên môn Đak Lak 2025) Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [20;25) & [25;30) & [30;35) & [35;40) & [40;45)
\hline
Số ngày & 6 & 6 & 4 & 1 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
Câu 91. (Cụm THPT Hoàn Kiếm - Hai Bà Trưng - Hà Nội 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của dân cư khu phố A như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60) & [60;70) & [70;80)
\hline
Số người & 24 & 26 & 20 & 15 & 11 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:
Câu 92. (THPT Bắc Đông Quan - Thái Bình 2025) Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Doanh thu & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15)
\hline
Số ngày & 2 & 7 & 7 & 3 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
Câu 93. (THPT Khoa Học Giáo Dục - Hà Nội 2025) Dũng là một học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần luyện tập giải khối rubik 3x3, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp trong bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian giải rubik (giây) & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18)
\hline
Số lần & 4 & 6 & 8 & 4 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn đến hàng phần trăm) là
Câu 94. (Sở Hà Tĩnh 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là $Q_1, Q_2, Q_3$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:
Câu 95. (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa 2025) Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
Câu 96. (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa 2025) Mỗi ngày cô Hoa đều chơi môn Pickleball để rèn luyện sức khoẻ. Qua thống kê thời gian một tuần chơi (đơn vị: giờ) của cô Hoa, tính được phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 0,1314. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là
Câu 97. (Đề Tham Khảo 2025) Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$ có bảng tần số ghép nhóm như sau:
$M_1$
\begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nhóm & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18)
\hline
Tần số & 3 & 4 & 8 & 6 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
$M_2$
\begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Nhóm & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18)
\hline
Tần số & 6 & 8 & 16 & 12 & 8
\hline
\end{tabular} \end{center}
Gọi $s_1, s_2$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Câu 98. (THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được mẫu số số liệu sau. Phương sai của mẫu số liệu về điểm trung bình môn Toán của các học sinh đó là
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Khoảng điểm & [6,5;7) & [7;7,5) & [7,5;8) & [8;8,5) & [8,5;9) & [9;9,5) & [9,5;10)
\hline
Tần số & 8 & 10 & 16 & 24 & 13 & 7 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Câu 99. (THPT Diễn Châu 5 - Nghệ An 2025) Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 100. (THPT Hùng Vương - Bình Thuận 2025) Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối rubik 3x3, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian giải rubik & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18)
\hline
Số lần & 4 & 6 & 8 & 4 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Câu 101. (THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa 2025) Khảo sát thời gian chơi thể thao trong một ngày của 42 học sinh được cho trong bảng sau (thời gian đơn vị phút):
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 5 & 9 & 12 & 10 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu (được làm tròn đến hàng đơn vị) bằng
Câu 102. (Sở Vĩnh Phúc 2025) Thống kê điểm kiểm tra học kì I môn Toán của các học sinh lớp 12A và 12B ở bảng
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [5;6) & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10)
\hline
12A & 1 & 0 & 11 & 22 & 6
\hline
12B & 0 & 6 & 8 & 14 & 12
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khẳng định nào sau đây là đúng
Câu 103. (Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các học sinh trong một lớp học ta có bảng số liệu sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiều cao & [150;155) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) & [175;180)
\hline
Số học sinh & 1 & 4 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 104. (Chuyên Vinh 2025) Thống kê điểm trung bình môn Toán của lớp 11A được cho ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10)
\hline
Tần số & 2 & 8 & 18 & 12
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu trên là
Câu 105. (Sở Thanh Hóa 2025) Bảng dưới đây thống kê cự ly ném tạ của một vận động viên
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cự ly (m) & [19;19,5) & [19,5;20) & [20;20,5) & [20,5;21) & [21;21,5)
\hline
Tần số & 13 & 45 & 24 & 12 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 106. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm như bảng dưới đây
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & $[u_1;u_2)$ & $[u_2;u_3)$ & ... & $[u_k;u_{k+1})$
\hline
Giá trị đại diện & $c_1$ & $c_2$ & ... & $c_k$
\hline
Tần số & $n_1$ & $n_2$ & ... & $n_k$
\hline
\end{tabular} \end{center}
Khi đó phương sai của mẫu số liệu được xác định theo công thức
Câu 107. (Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2025) Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$ có bảng tần số ghép nhóm như sau:
$M_1$
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18)
\hline
Tần số & 6 & 4 & 8 & 6 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
$M_2$
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18)
\hline
Tần số & 9 & 6 & 12 & 9 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Gọi $s_1, s_2$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Câu 108. (THPT Nông Cống 3 - Thanh Hóa 2025) Trong 30 ngày, một nhà đầu tư đã theo dõi giá cổ phiếu của hai công ty G và H vào phiên mở cửa mỗi ngày. Thông tin được ghi lại ở hai bảng dưới đây:
Giá cổ phiếu của công ty G
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Giá (nghìn đồng) & [50;52) & [52;54) & [54;56) & [56;58) & [58;60)
\hline
Tần số & 3 & 7 & 9 & 8 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Giá cổ phiếu của công ty H
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Giá (nghìn đồng) & [40;42) & [42;44) & [44;46) & [46;48) & [48;50)
\hline
Tần số & 6 & 7 & 5 & 7 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Gọi $s_1; s_2$ lần lượt là độ lệch chuẩn (làm tròn đến hàng phần chục) của hai mẫu số liệu ghép nhóm ở số liệu của công ty G và công ty H. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 109. (Sở Thái Nguyên 2025) Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi và số người dự thi như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Điểm thi & [1;4,5) & [4,5;8) & [8;11,5) & [11,5;15) & [15;18,5)
\hline
Số người dự thi & 1 & 10 & 12 & 17 & 16
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
Câu 110. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 2025) Số đặc trưng nào sau đây không đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm?
Câu 111. (KHTN Hà Nội 2025) Khảo sát trọng lượng của một số quả mít được trồng trong một nông trường ta có số liệu sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Trọng lượng (kg) & [4;6) & [6;8) & [8;10) & [10;12) & [12;14)
\hline
Số quả & 6 & 12 & 19 & 9 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tìm độ lệch tiêu chuẩn của mẫu số liệu trên. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 112. (THPT Lê Thánh Tông - Nguyễn Khuyến 2025) Bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao đo được (đơn vị: cm) của 30 học sinh nam lớp 12A2 đầu năm học 2024 – 2025 của một trường THPT được cho như sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiều cao & [150;155) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175)
\hline
Tần số & 3 & 7 & 10 & 7 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Câu 113. (Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Thống kê độ tuổi tập thể dục thể thao hàng ngày trong một cụm dân cư có bảng số liệu sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Độ tuổi & [10;20) & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60)
\hline
Số người & 10 & 6 & 15 & 19 & 25
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính phương sai của mẫu số liệu trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 114. (THPT Triệu Sơn 1 - Thanh Hóa 2025) Thống kê lợi nhuận hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 tháng của một nhà đầu tư được cho như sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Lợi nhuận & [10;20) & [20;30) & [30;40) & [40;50) & [50;60)
\hline
Số tháng & 2 & 4 & 8 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S. Chọn khẳng định đúng nhất trong 4 khẳng định sau:
Câu 115. (Sở Bắc Ninh 2025) Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại một ngày của học sinh lớp 12A thì được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100]
\hline
Số học sinh & 2 & 5 & 7 & 19 & 9
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào dưới đây?
Câu 116. (THPT Đô Lương 1 - Nghệ An 2025) Thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các học sinh trong một lớp học ta có bảng số liệu sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiều cao & [150;155) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) & [175;180)
\hline
Số lớp & 1 & 4 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 117. (THPT Hương Hóa - Quảng Trị 2025) Số tiền ghi trên hoá đơn của 150 khách hàng lấy ngẫu nhiên trong một ngày của một siêu thị cho ở bảng dưới đây
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Số tiền (nghìn đồng) & [50;100) & [100;150) & [150;200) & [200;250) & [250;300)
\hline
Tần số & 6 & 9 & 39 & 66 & 30
\hline
\end{tabular} \end{center}
Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên
Câu 118. (THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần luyện tập giải khối rubik 3x3, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian giải rubik (giây) & [8;10) & [10;12) & [12;14) & [14;16) & [16;18)
\hline
Số lần & 4 & 6 & 8 & 4 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Câu 119. (Sở Thái Nguyên 2025) Mỗi ngày bác Lan đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Lan trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Quãng đường (km) & [2,7;3,0) & [3,0;3,3) & [3,3;3,6) & [3,6;3,9) & [3,9;4,2)
\hline
Số ngày & 3 & 6 & 5 & 4 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây.
Câu 120. (Sở Quảng Ninh 2025) Khảo sát thời gian tự học bài ở nhà của học sinh khối 12 ở trường X, ta thu được bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;30) & [30;60) & [60;90) & [90;120) & [120;150)
\hline
Số học sinh & 75 & 125 & 250 & 82 & 18
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là
Câu 121. (THPT Tư Nghĩa 1 - Quảng Ngãi 2025) Bạn An rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn An trong thời gian gần đây được thống kê ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [5;15) & [15;25) & [25;35) & [35;45)
\hline
Số ngày & 5 & 5 & 4 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
Câu 122. (THPT Mai Trúc Loan - Hà Tĩnh 2025) Khối lượng các gói kẹo được đóng gói (đơn vị là kg) được thống kê ở bảng sau.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Khối lượng (kg) & [1,5;1,7) & [1,7;1,9) & [1,9;2,1) & [2,1;2,3) & [2,3;2,5)
\hline
Số gói kẹo & 3 & 5 & 23 & 5 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với kết quả nào sau đây?
Câu 123. (Cụm Chương Mỹ - Thanh Oai 2025) Bạn Chi rất thích ngẫu hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [20;25) & [25;30) & [30;35) & [35;40) & [40;45)
\hline
Số ngày & 6 & 6 & 4 & 1 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên
Câu 124. (Cụm Chuyên Môn Đăk Lak 2025) Một mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng 3 thì có phương sai bằng:
Câu 125. (THPT Hà Trung - Thanh Hóa 2025) Bảng số liệu bên dưới biểu diễn số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2021 tại Hà Nội (đơn vị: độ C) (Nguồn: Niên giám thống kê 2021, NXB Thống kê, 2022).
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|}
\hline
Nhóm & Tần số
\hline
[16,8;19,8) & 2
\hline
[19,8;22,8) & 3
\hline
[22,8;25,8) & 2
\hline
[25,8;28,8) & 1
\hline
[28,8;31,8) & 4
\hline
& n=12
\hline
\end{tabular} \end{center}
Độ lệch chuẩn (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm) của mẫu số liệu đã cho bằng
Câu 126. (Sở Bắc Ninh 2025) Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy trong một số ngày gần đây của bạn Chi được thống kê lại bằng bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & (20;25) & (25;30) & (30;35) & (35;40) & (40;45)
\hline
Số ngày & 6 & 6 & 4 & 1 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Câu 127. (THPT Phúc Thọ - Hà Nội 2025) Khảo sát về độ ẩm không khí trung bình các tháng năm 2024 tại Hà Nội (đơn vị \%) người ta được một mẫu số liệu ghép nhóm như sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Độ ẩm & [71;74) & [74;77) & [77;80) & [80;83) & [83;86)
\hline
Số tháng & 1 & 1 & 2 & 6 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Câu 128. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2025) Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được cho ở Bảng.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|l|c|}
\hline
Nhóm & Giá trị đại diện & Tần số
\hline
[40;45) & 42,5 & 4
\hline
[45;50) & 47,5 & 14
\hline
[50;55) & 52,5 & 8
\hline
[55;60) & 57,5 & 10
\hline
[60;65) & 62,5 & 6
\hline
[65;70) & 67,5 & 2
\hline
& & n=44
\hline
\end{tabular} \end{center}
Biết số trung bình của mẫu số liệu đã cho là $\bar{x} \approx 53,18$. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) là
Câu 129. (Liên trường THPT Ninh Bình 2025) Để đánh giá chất lượng của một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (giờ) & [5;5,5) & [5,5;6) & [6;6,5) & [6,5;7) & [7;7,5)
\hline
Số chiếc điện thoại (tần số) & 2 & 8 & 15 & 10 & 5
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến 4 chữ số thập phân).
Câu 130. (Sở Bình Phước 2025) Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$ có bảng tần số ghép nhóm như sau:
$M_1$:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [0;2) & [2;4) & [4;6) & [6;8) & [8;10]
\hline
Tần số & 1 & 2 & 10 & 15 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
$M_2$:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [0;2) & [2;4) & [4;6) & [6;8) & [8;10]
\hline
Tần số & 0 & 1 & 15 & 13 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Gọi $s_1^2, s_2^2$ lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm $M_1, M_2$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Nội dung
\hline [12;14) & 1
\hline [14;16) & 3
\hline [16;18) & 12
\hline [18;20) & 9
\hline [20;22) & 5
\hline Cộng & 30
\hline \end{tabular} \end{center} Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai? \begin{itemize} \item[a.] Khoảng biến thiên của bảng số liệu là 10 (°C). \item[b.] Giá trị trung bình là 18 (°C) (làm tròn đến hàng đơn vị). \item[c)] Phương sai của mẫu số liệu này là 3,94 (°C)) (làm tròn đến hàng phần trăm). \item[d.] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này là 1,98 (°C) (làm tròn đến hàng phần trăm). \end{itemize} \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline Lớp nhiệt độ (°C) & Giá trị đại diện & Tần số & Tần suất
\hline [12;14) & 13 & 1 & 3,33
\hline [14;16) & 15 & 3 & 10,00
\hline [16;18) & 17 & 12 & 40,00
\hline [18;20) & 19 & 9 & 30,00
\hline [20;22) & 21 & 5 & 16,67
\hline Cộng & & 30 & 100\%
\hline \end{tabular} \end{center} a) Mệnh đề: đúng. Vì: Khoảng biến thiên $R$ = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất = 22 – 12 = 10 (°C). b) Mệnh đề: sai. Vì $$ \bar{x} = \dfrac{1.13+15.3+12.17+9.19+5.21}{30} \approx 17,93 (°C). $$ c) Mệnh đề: sai. Vì Phương sai của mẫu số liệu là $$ S_x^2 = \dfrac{1.(13-17,93)^2+3.(15-17,93)^2+12.(17-17,93)^2+9.(19-17,93)^2+5.(21-17,93)^2}{30} \approx 3,93 (°C). $$ d) Mệnh đề: đúng. Vì: độ lệch chuẩn của mẫu số liệu $S_x = \sqrt{S_x^2} \approx 1,98 (°C)$ }
Nội dung
\hline Số ngày & 5 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a.] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250 (km). \item[b)] Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145. \item[c.] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 79,17. \item[d.] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 55,68. \end{itemize} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Độ dài quãng đường (km) & [50; 100) & [100; 150) & [150; 200) & [200; 250) & [250; 300)
\hline Giá trị đại diện & 75 & 125 & 175 & 225 & 275
\hline Số ngày & 5 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline \end{tabular} \end{center} Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $$ \bar{x} = \dfrac{5.75+10.125+9.175+4.225+2.275}{30} = 155. $$ c) Đúng. Cỡ mẫu $n=5+10+9+4+2=30$. Gọi $x_1;...;x_{30}$ là mẫu số liệu gốc về độ dài quãng đường bác tài xế đã lái xe mỗi ngày trong một tháng được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có $x_1;...;x_5 \in [50; 100)$, $x_6;...;x_{15} \in [100; 150)$, $x_{16};...;x_{24} \in [150; 200)$, $x_{25};...;x_{28} \in [200; 250)$, $x_{29};x_{30} \in [250; 300)$. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_8 \in [100; 150)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1 = 100 + \dfrac{\dfrac{30}{4}-5}{10}(150-100)=112,5$ Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{23} \in [150; 200)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_3 = 150 + \dfrac{\dfrac{3.30}{4}-(5+10)}{9}(200-150) = \dfrac{575}{3}$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = \dfrac{575}{3}-112,5 \approx 79,17$ d) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S^2 = \dfrac{1}{30}[5.75^2+10.125^2+9.175^2+4.225^2+2.275^2]-155^2=3100$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{3100} \approx 55,68$. }
Nội dung
\hline Số táo ở thùng A & 2 & 4 & 12 & 4 & 3
\hline Số táo ở thùng B & 1 & 3 & 7 & 10 & 4
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Số trung bình của cân nặng các quả táo ở thùng A nhỏ hơn số trung bình của cân nặng các quả táo ở thùng B. \item[b)] Lấy ngẫu nhiên một quả táo từ thùng A. Xác suất để quả táo đó có cân nặng từ 280g trở lên là 0,28. \item[c)] Lấy ngẫu nhiên một quả táo từ thùng A và một quả táo từ thùng B. Xác suất để hai quả táo lấy ra đều nặng từ 270g trở lên là 0,6384. \item[d)] Số táo có cân nặng từ 280g trở lên ở thùng B nhiều hơn số táo có cân nặng từ 280g trở lên ở thùng A. \end{itemize} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Cân nặng (g) & [250;260) & [260;270) & [270;280) & [280;290) & [290;300)
\hline Giá trị đại diện & 255 & 265 & 275 & 285 & 295
\hline Số táo ở thùng A & 2 & 4 & 12 & 4 & 3
\hline Số táo ở thùng B & 1 & 3 & 7 & 10 & 4
\hline \end{tabular} \end{center} Số trung bình của cân nặng các quả táo ở thùng A là: $$ \bar{x_A} = \dfrac{255.2+265.4+275.12+285.4+295.3}{25} = 275,8 $$ Số trung bình của cân nặng các quả táo ở thùng B là: $$ \bar{x_B} = \dfrac{255.1+265.3+275.7+285.10+295.4}{25} = 280,2 $$ Vậy số trung bình của cân nặng các quả táo ở thùng A nhỏ hơn số trung bình của cân nặng các quả táo ở thùng B. Suy ra mệnh đề Đúng. b) Gọi M là biến cố: “Lấy được một quả táo từ thùng A có cân nặng từ 280g trở lên”. Khi đó ta có: $n(\Omega)=25$; $n(M)=4+3=7 \Rightarrow P(M) = \dfrac{n(M)}{n(\Omega)} = \dfrac{7}{25}=0,28$. Suy ra mệnh đề Đúng. c) Gọi N là biến cố: “Lấy được một quả táo từ thùng A và một quả táo từ thùng B sao cho hai quả táo lấy ra đều nặng từ 270g trở lên”. Khi đó ta có: $n(\Omega)=25.25=625$; $n(N)=(12+4+3).(7+10+4)=399$ $\Rightarrow P(N)=\dfrac{n(N)}{n(\Omega)}=\dfrac{399}{625}=0,6384$. Suy ra mệnh đề Đúng. d) Số táo có cân nặng từ 280g trở lên ở thùng B là: $10+4=14$; Số táo có cân nặng từ 280g trở lên ở thùng A là: $4+3=7$. Vậy số táo có cân nặng từ 280g trở lên ở thùng B nhiều hơn số táo có cân nặng từ 280g trở lên ở thùng A. Suy ra mệnh đề Đúng. }
Nội dung
\hline Số học sinh & 5 & 12 & 16 & 7 & n=40
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Tần số của nhóm [160;165) là 12. \item[b)] Tần số tích lũy của nhóm [165;170) là 17. \item[c)] Mốt (làm tròn đến hàng phần mười) của mẫu số liệu trên là 165,6. \item[d)] Số trung bình cộng (làm tròn đến hàng phần mười) của mẫu số liệu trên là 165,5. \end{itemize} {16 \cdot 2 - 12 - 7}.5 \approx 166,5$. Do đó, ý c) sai. d) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là $\bar{x} = \dfrac{5.157,5+12.162,5+16.167,5+7.172,5}{40} \approx 165,6$. Do đó ý d) sai. }
Nội dung
\hline Số sinh viên & 6 & 12 & 4 & 2 & 1
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Số giờ làm thêm trung bình của nhóm sinh viên trên trong một tuần là 16,5 giờ. \item[b)] Giá trị đại diện của nhóm [9;12) là 10,5. \item[c)] Tứ phân vị thứ ba là 15,65. \item[d)] Nhóm chứa trung vị là [15;18). \end{itemize} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Số giờ làm thêm (giờ/tuần) & [9;12) & [12;15) & [15;18) & [18;21) & [21;24)
\hline Giá trị đại diện & 10,5 & 13,5 & 16,5 & 19,5 & 22,5
\hline Số sinh viên & 6 & 12 & 4 & 2 & 1
\hline \end{tabular} \end{center} Số giờ làm thêm trung bình của nhóm sinh viên trên trong một tuần là $$ \bar{x} = \dfrac{6.10,5+12.13,5+4.16,5+2.19,5+1.22,5}{25} = 14,1 \text{ (giờ)}. $$ b) Đúng. Giá trị đại diện của nhóm [9;12) là 10,5. c) Sai. Giả sử $x_1, x_2, ..., x_{25}$ số giờ làm thêm của các sinh viên trong mẫu số liệu trên và dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là $x_{13}$ và tứ phân vị thứ ba là $\dfrac{1}{2}(x_{19}+x_{20})$. Vì $x_{19}, x_{20}$ đều thuộc nhóm [15;18) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba. Do đó, tứ phân vị thứ ba là: $$ Q_3 = 15 + \dfrac{\dfrac{3.25}{4}-12-6}{4}(18-15) = 15,5625. $$ d) Sai. Vì $x_{13}$ thuộc nhóm [12;15) nên nhóm chứa trung vị là nhóm [12;15). }
Nội dung
\hline 11A & 1 & 0 & 11 & 22 & 6
\hline 11B & 0 & 6 & 8 & 14 & 12
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Điểm trung bình của lớp 11A là 8,3 (làm tròn đến hàng phần chục). \item[b)] Điểm trung bình của lớp 11A nhỏ hơn lớp 11B. \item[c)] Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là 1,05 (làm tròn đến hàng phần trăm). \item[d)] So sánh theo độ lệch chuẩn thì các học sinh lớp 11A học đồng đều hơn lớp 11B. \end{itemize} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Giá trị đại diện & 5,5 & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 9,5
\hline 11A & 1 & 0 & 11 & 22 & 6
\hline 11B & 0 & 6 & 8 & 14 & 12
\hline \end{tabular} \end{center} Xét mẫu số liệu của lớp 11A: Cỡ mẫu là $n_1=1+11+22+6=40$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $$ \bar{x_1} = \dfrac{1.5,5+11.7,5+22.8,5+6.9,5}{40}=8,3. $$ b) Sai Xét mẫu số liệu của lớp 11B: Cỡ mẫu là $n_2=6+8+14+12=40$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $$ \bar{x_2} = \dfrac{6.6,5+8.7,5+14.8,5+12.9,5}{40}=8,3. $$ Hai lớp 11A và 11B có điểm trung bình bằng nhau. c) Sai Xét mẫu số liệu của lớp 11B: Cỡ mẫu là $n_2=6+8+14+12=40$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $$ \bar{x_2} = \dfrac{6.6,5+8.7,5+14.8,5+12.9,5}{40}=8,3. $$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$ s_2^2 = \dfrac{1}{40}(6.6,5^2+8.7,5^2+14.8,5^2+12.9,5^2)-8,3^2 = 1,06. $$ d) Đúng Xét mẫu số liệu của lớp 11A: Cỡ mẫu là $n_1=1+11+22+6=40$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $$ \bar{x_1} = \dfrac{1.5,5+11.7,5+22.8,5+6.9,5}{40}=8,3. $$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$ s_1^2 = \dfrac{1}{40}(1.5,5^2+11.7,5^2+22.8,5^2+6.9,5^2)-8,3^2 = 0,61. $$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $s_1 = \sqrt{0,61}$. Xét mẫu số liệu của lớp 11B: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $s_2 = \sqrt{1,06}$. Do $s_1 < s_2$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 11A có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp 11B. Nghĩa là lớp 11A học đồng đều hơn lớp 11B. }
Nội dung
\hline 12A & 1 & 0 & 11 & 22 & 6
\hline 12B & 0 & 6 & 8 & 14 & 12
\hline \end{tabular} \end{center} Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: \begin{itemize} \item[a)] Lớp 12A có 28 học sinh có điểm trung bình môn Toán cuối năm từ 8 trở lên. \item[b)] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A (làm tròn đến hàng phần trăm) là 0,72. \item[c)] Số trung bình của mẫu số liệu lớp 12A lớn hơn số trung bình của mẫu số liệu lớp 12B. \item[d)] Dựa vào độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê ghép nhóm, thì lớp 12A có điểm trung bình môn toán cuối năm ít phân tán hơn hơn lớp 12B. \end{itemize} = \dfrac{1}{40}(5,5.1+6,5.0+7,5.11+8,5.22+9,5.6)=8,3$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A: $$ s_A=\sqrt{S_A^2} = \sqrt{\dfrac{1}{40}(1.5,5^2+0.6,5^2+11.7,5^2+22.8,5^2+6.9,5^2)-8,3^2} \approx 0,78. $$ Vậy b) sai. c) Điểm trung bình của lớp 12A: $\bar{x_A} = \dfrac{1}{40}(5,5.1+6,5.0+7,5.11+8,5.22+9,5.6)=8,3$. Điểm trung bình của lớp 12B: $\bar{x_B} = \dfrac{1}{40}(5,5.0+6,5.6+7,5.8+8,5.14+9,5.12)=8,3$. Suy ra $\bar{x_A}=\bar{x_B}$ Vậy c) sai. d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A: $$ s_A=\sqrt{S_A^2} = \sqrt{\dfrac{1}{40}(1.5,5^2+0.6,5^2+11.7,5^2+22.8,5^2+6.9,5^2)-8,3^2} \approx 0,78 $$ - Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12B: $$ s_B=\sqrt{S_B^2} = \sqrt{\dfrac{1}{40}(0.5,5^2+6.6,5^2+8.7,5^2+14.8,5^2+12.9,5^2)-8,3^2} \approx 1,03 $$ Ta thấy độ lệch chuẩn ở mẫu số liệu lớp 12A nhỏ hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12B. Do đó lớp 12A có điểm trung bình môn toán cuối năm ít phân tán hơn hơn lớp 12B. Vậy d) đúng. }
Nội dung
\hline Số ngày & 5 & 4 & 10 & 7 & 4
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là 25. \item[b)] Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\dfrac{83}{3}$. \item[c)] Phương sai của mẫu số liệu là 36,14 (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm). \item[d)] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là 9,375. \end{itemize} = \dfrac{1}{30}(17,5.5+22,5.4+27,5.10+32,5.7+37,5.4) = \dfrac{83}{3} $$ Chọn Đúng c) Phương sai của mẫu số liệu là: $$ s^2 = \dfrac{1}{30}(17,5^2.5+22,5^2.4+27,5^2.10+32,5^2.7+37,5^2.4) - (\dfrac{83}{3})^2 = \dfrac{1409}{36} \approx 39,14 $$ Chọn Sai d) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Ta có, cỡ mẫu: $n=30$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là $x_8$ thuộc nhóm thứ 2. $$ \Rightarrow Q_1 = 20 + \dfrac{\dfrac{30}{4}-5}{4}.(25-20) = \dfrac{185}{8} $$ Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là $x_{23}$ thuộc nhóm thứ 4. $$ \Rightarrow Q_3 = 30 + \dfrac{3.\dfrac{30}{4}-(5+4+10)}{7}.(35-30) = \dfrac{65}{2} $$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là: $\Delta Q = Q_3-Q_1 = \dfrac{65}{2}-\dfrac{185}{8} = \dfrac{75}{8} = 9,375$ Chọn Đúng }
Nội dung
\hline Số thửa ruộng & 3 & 4 & 6 & 5 & 5 & 2
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 1,3 (tấn/ha). \item[b)] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656. \item[c)] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,4675. \item[d)] Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát. \end{itemize} -a_1=6,7-5,5=1,2$. Suy ra a) Sai Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên: Giá trị đại diện: $x_1=5,6; x_2=5,8; x_3=6; x_4=6,2; x_5=6,4; x_6=6,6$ $$ \bar{x} = \dfrac{5,6.3+5,8.4+6.6+6,2.5+6,4.5+6,6.2}{25} = 6,088 $$ $$ S^2 = \dfrac{1}{25}[3.(5,6)^2+4.(5,8)^2+6.6^2+5.(6,2)^2+5.(6,4)^2+2.(6,6)^2]-(6,088)^2=0,086656. $$ Suy ra b) Đúng $\dfrac{n}{4}=\dfrac{25}{4}=6,25$. Do đó tứ phân vị thứ nhất thuộc [5,7;5,9) $Q_1 = 5,7 + \dfrac{6,25-3}{4}.0,2 = 5,8625$. $\dfrac{3n}{4}=\dfrac{3.25}{4}=18,75$. Do đó tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [6,3;6,5) $Q_3 = 6,3+\dfrac{18,75-(3+4+6+5)}{5}.0,2=6,33$. Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3-Q_1=6,33-5,8625=0,4675$. Suy ra c) Đúng }
Nội dung
\hline Cổ phiếu A & 8 & 9 & 12 & 10 & 11
\hline Cổ phiếu B & 16 & 4 & 3 & 6 & 21
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Xét mẫu số liệu của cổ phiếu (A) ta có số trung bình là $\bar{x_A}=23,28$. \item[b)] Xét mẫu số liệu của cổ phiếu (A) ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_A^2=7,5216$. \item[c)] Xét mẫu số liệu của cổ phiếu (B) ta có số trung bình là $\bar{x_B}=23,48$. \item[d)] Cổ phiếu (A) có mức độ biến động giá lớn hơn cổ phiếu (B). \end{itemize} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Giá đóng cửa & [18;20) & [20;22) & [22;24) & [24;26) & [26;28)
\hline Giá trị đại diện & 19 & 21 & 23 & 25 & 27
\hline Cổ phiếu A & 8 & 9 & 12 & 10 & 11
\hline Cổ phiếu B & 16 & 4 & 3 & 6 & 21
\hline \end{tabular} \end{center} a) Số trung bình của cổ phiếu (A) là $\bar{x_A} = \dfrac{19.8+21.9+23.12+25.10+27.11}{8+9+12+10+11}=23,28$. b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu (A) là $S_A^2 = \dfrac{8.(19-23,28)^2+9.(21-23,28)^2+12.(23-23,28)^2+10(25-23,28)^2+11.(27-23,28)^2}{8+9+12+10+11} = 7,5216$. c) Số trung bình của cổ phiếu (B) là $\bar{x_B} = \dfrac{19.16+21.4+23.3+25.6+27.21}{16+4+3+6+21}=23,48$. d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu (B) là $S_B^2 = \dfrac{16.(19-23,48)^2+4.(21-23,48)^2+3.(23-23,48)^2+6(25-23,48)^2+21.(27-23,48)^2}{16+4+3+6+21} = 12,4096$. Do $S_A^2
Nội dung
\hline Số ngày & 5 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline \end{tabular} \end{center} Các khẳng định sau đúng hay sai? \begin{itemize} \item[a)] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250km. \item[b)] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 79 km (làm tròn đến hàng đơn vị). \item[c)] Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145 km. \item[d)] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 56 km (làm tròn đến hàng đơn vị). \end{itemize} {4}-5}{10}.50=112,5$. $Q_3 \in [150;200) \Rightarrow Q_3 = 150+\dfrac{\dfrac{3.30}{4}-(5+10)}{9}.50 \approx 191,6667$. $\Delta_Q = Q_3-Q_1 \approx 79$ km. c) Sai: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\bar{x} = \dfrac{5.75+10.125+9.175+4.225+2.275}{5+10+9+4+2}=155$ km. d) Đúng Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s=\sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{5(75-155)^2+10(125-155)^2+9(175-155)^2+4(225-155)^2+2(275-155)^2}{5+10+9+4+2}} = 10\sqrt{31} \approx 56$ km. }
Nội dung
\hline Tần số & 2 & 3 & 8 & 15 & 12
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Khoảng biến thiên của số liệu là 5. \item[b)] Có ít nhất 13 học sinh có điểm thi thấp hơn điểm trung bình của cả lớp. \item[c)] Biết rằng 8 học sinh trong Câu lạc bộ Toán học đều có điểm thi không dưới 8. Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong lớp có điểm lớn hơn hoặc bằng 8. Xác suất có đúng 2 em của Câu lạc bộ Toán học được chọn nhỏ hơn $\dfrac{1}{3}$. \item[d)] Biết 8 học sinh trong Câu lạc bộ Toán học gồm có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Trong buổi lễ tuyên dương khen thưởng, 8 học sinh trong Câu lạc bộ Toán học được sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang để trao quà. Xác suất không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau lớn hơn $\dfrac{1}{3}$. \end{itemize} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Nhóm & [5;6) & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10)
\hline Giá trị đại diện & 5,5 & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 9,5
\hline Tần số & 2 & 3 & 8 & 15 & 12
\hline \end{tabular} \end{center} Giá trị trung bình của bảng số liệu là: $\bar{x} = \dfrac{5,5.2+6,5.3+7,5.8+8,5.15+9,5.12}{40}=8,3$ Tổng tần số của 3 nhóm đầu tiên là 13, vậy ta thấy có 13 em học sinh có điểm thi thấp hơn điểm trung bình của cả lớp. c) Sai. Từ bảng số liệu ta thấy, số học sinh có điểm lớn hơn hoặc bằng 8 của cả lớp là 27 học sinh, trong đó có 8 học sinh trong Câu lạc bộ Toán. Số phần tử của không gian mẫu là $C_{27}^6 = 296010$; Số phần tử của biến cố “có đúng 2 em của Câu lạc bộ Toán học được chọn” là $C_8^2.C_{19}^4 = 108528$; Vậy xác suất của biến cố “có đúng 2 em của Câu lạc bộ Toán học được chọn” là $\dfrac{C_8^2.C_{19}^4}{C_{27}^6} \approx 0,3666 > \dfrac{1}{3}$ d) Số phần tử của không gian mẫu là $P_8=8!$; Cách 1 Gọi biến cố N là biến cố “không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau” thì ta có $\bar{N}$ là biến cố “có ít nhất 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau”. Sau đây ta đếm số phần tử của $\bar{N}$, với giả sử 3 bạn nữ là A, B, C Trường hợp 1: Ba bạn A,B,C đứng cạnh nhau: $6!.3! = 4320$. Trường hợp 2: Chỉ có 2 bạn đứng cạnh nhau = 1 bạn “bạn kép”: +) Chọn 2 bạn trong 3 bạn và xếp vào cũng một vị trí: $2!C_3^2 \times 2! = 6$. +) Xếp “bạn kép” đó vào 7 vị trí: Nếu “bạn kép” đứng ở 2 đầu: Có $2 \times (1 \times 5 \times 5!) = 1200$. Nếu “bạn kép” không đứng hai đầu: Có $5 \times (1 \times 4 \times 5!) = 2400$. Vậy $P(N)=1-P(\bar{N})=1-\dfrac{4320+6(1200+2400)}{8!} = \dfrac{5}{14} \approx 0,3(571428) > \dfrac{1}{3}$. Cách 2 d) Số cách xếp 8 học sinh thành một hàng ngang: $P_8 = 8!$ Xếp 5 học sinh nam vào 5 vị trí có 5! cách. Khi xếp 5 học sinh nam vào 5 vị trí tạo thành 6 khoảng trống. Số cách xếp 3 học sinh nữ vào 6 khoảng trống là $A_6^3$. Xác suất cần tìm là $\dfrac{5! \times A_6^3}{8!} = \dfrac{5}{14} \approx 0,3(571428)$. Suy ra đúng. }
Nội dung
\hline Số khách hàng & 75 & 105 & 197 & 80 & 43
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Độ dài mỗi nhóm là 4. \item[b)] Tần số tích luỹ của nhóm [14;18) là 105. \item[c)] Tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [22;26). \item[d)] Biết rằng công ty sẽ xây dựng phân khúc nhà giá rẻ cho 25\% số khách hàng có nhu cầu mua ở mức giá thấp nhất theo khảo sát, xây dựng phân khúc nhà giá cao cấp cho 25\% số khách hàng có nhu cầu mua ở mức giá cao nhất theo khảo sát. Tuy nhiên trước hết sẽ ưu tiên xây dựng phân khúc nhà tầm trung hướng tới 50\% số khách hàng còn lại. Khi đó theo khảo sát, độ chênh lệch giá cao nhất và giá thấp nhất (đúng đến hàng phần mười, đơn vị triệu đồng) dành cho phân khúc nhà tầm trung là 6,1 triệu. \end{itemize} {2}(x_{375}+x_{376})$ thuộc nhóm [18;22). Chọn sai. d) Ta có: $n=500$. $\dfrac{n}{4}=\dfrac{500}{4}=125 \in [14;18)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_1 = 14 + \dfrac{125-75}{105}.4 = \dfrac{334}{21} \approx 15,9$. $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3.500}{4}=375 \in [18;22)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_3 = 18+\dfrac{375-180}{197}.4 = \dfrac{4326}{197} \approx 21,96$. Như vậy công ty sẽ xây dựng phân khúc nhà tầm trung từ 15,9 triệu đồng/m$^2$ đến 21,96 triệu đồng/m$^2$. Vì $\Delta_Q \approx 6,1$ nên độ chênh lệch giá cao nhất và giá thấp nhất (đúng đến hàng phần mười, đơn vị triệu đồng) dành cho phân khúc nhà tầm trung là 6,1 triệu. Chọn đúng. }
Nội dung
\hline Số ngày & 5 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 55,68. \item[b)] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250 (km). \item[c)] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 79,17. \item[d)] Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145. \end{itemize} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Độ dài quãng đường (km) & [50;100) & [100;150) & [150;200) & [200;250) & [250;300)
\hline Giá trị đại diện & 75 & 125 & 175 & 225 & 275
\hline Số ngày & 5 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline Tần số tích luỹ & 5 & 15 & 24 & 28 & 30
\hline \end{tabular} \end{center} Giá trị trung bình là: $\bar{x} = \dfrac{75.5+125.10+175.9+225.4+275.2}{5+10+9+4+2}=155$ Phương sai là: $S^2 = \dfrac{(75-155)^2.5+(125-155)^2.10+(175-155)^2.9+(225-155)^2.4+(275-155)^2.2}{5+10+9+4+2} = 3100$ Vậy độ lệch chuẩn là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{3100} \approx 55,68$. b) Đúng: Vì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $R=300-50=250$ (km). c) Đúng: Vì cỡ mẫu của bảng số liệu là: $n=5+10+9+4+2=30 \Rightarrow \dfrac{n}{4}=7,5$ Ta thấy $5<7,5<15$, nên trung vị thứ nhất là $Q_1$ thuộc nhóm [100;150). Vậy $Q_1 = 100 + \dfrac{\dfrac{30}{4}-5}{10}.(150-100) = 112,5$ Do $\dfrac{3n}{4}=22,5$ và $15<22,5<24$ nên trung vị thứ ba là $Q_3$ thuộc nhóm [150;200). Vậy $Q_3 = 150 + \dfrac{\dfrac{3.30}{4}-(5+10)}{9}.(200-150) \approx 191,67$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_Q = Q_3-Q_1 \approx 191,67-112,5 \approx 79,17$. d) Sai: Vì số trung bình là $\bar{x}=155$. }
Câu 145. (Sở Thừa Thiên Huế 2025) Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh ở một trường THPT ở địa bàn thành phố Huế với thang điểm 100 được cho ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Điểm & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 25 & 34 & 15 & 38 & 8
\hline
\end{tabular} \end{center}
Câu 146. (Cụm trường Nguyễn Hiền - Lê Hồng Phong - Quảng Nam 2025) Hiện nay, thời gian sử dụng điện thoại của học sinh quá nhiều dẫn đến suy giảm thị lực. Trung tâm Mắt Kính Đức Thành Trà Kiệu tổ chức khám sàn lọc miễn phí cho 100 học sinh của một trường THPT trên địa bàn huyện để kiểm tra tình trạng cận thị của học sinh và thu được mẫu số liệu sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Mức độ cận thị(Đơn vị diop) & [0,0;0,5) & [0,5;1,0) & [1,0;1,5) & [1,5;2,0] & [2,0;2,5)
\hline
Số học sinh & 20 & 15 & 30 & 20 & 15
\hline
\end{tabular} \end{center}
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Câu 147. (THPT Anh Sơn 3 - Nghệ An 2025) Bạn Trang thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiều cao (cm) & [155;160) & [160;165) & [165;170) & [170;175) & [175;180)
\hline
Số học sinh nữ lớp 12C & 2 & 7 & 12 & 4 & 1
\hline
Số học sinh nữ lớp 12D & 5 & 9 & 8 & 2 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Câu 148. (THPT Trực Ninh - Nam Định 2025) Cho mẫu số liệu dưới dạng bảng sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Số câu trả lời đúng & [16;21) & [21;26) & [26;31) & [31;36) & [36;41)
\hline
Tần số & 4 & 6 & 8 & 18 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
$N=40$
Câu 149. (THPT Lê Thánh Tông - Nguyễn Khuyến HCM 2025) Cân nặng (tính theo kilogam) của 40 học sinh trong một lớp 12 được cho trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cân nặng & [40;48) & [48;56) & [56;64) & [64;72) & [72;80)
\hline
Số học sinh & 6 & 12 & 10 & 8 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Câu 150. (Sở Ninh Bình 2025) Số liệu thống kê chiều cao (đơn vị tính chiều cao: cm) của tất cả các cây vú sữa trong vườn ươm của một lâm trường được thể hiện trên biểu đồ tần số sau:
Nội dung
\hline Số lượng nhân viên công ty A & 15 & 18 & 10 & 10 & 5 & 2
\hline Số lượng nhân viên công ty B & 25 & 15 & 7 & 5 & 4 & 4
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Kích thước mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương công ty A là 60 \item[b)] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương công ty B là 30. \item[c)] Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương công ty A là 20,6. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). \item[d)] Theo độ lệch chuẩn thì công ty A có mức lương đồng đều hơn công ty B. \end{itemize} = \dfrac{15.12,5+18.17,5+10.22,5+10.27,5+5.32,5+2.37,5}{60} \approx 20,7$. d) Đúng. Ta có $\bar{x_B} = \dfrac{25.12,5+15.17,5+7.22,5+5.27,5+4.32,5+4.37,5}{60} \approx 19,2$. Khi đó $s_A^2 = \dfrac{15(12,5-\bar{x_A})^2+18(17,5-\bar{x_A})^2+10(22,5-\bar{x_A})^2+10(27,5-\bar{x_A})^2+5(32,5-\bar{x_A})^2+2(37,5-\bar{x_A})^2}{60} = \dfrac{1769}{36}$ $s_B^2 = \dfrac{25(12,5-\bar{x_B})^2+15(17,5-\bar{x_B})^2+7(22,5-\bar{x_B})^2+5(27,5-\bar{x_B})^2+4(32,5-\bar{x_B})^2+4(37,5-\bar{x_B})^2}{60} = \dfrac{545}{9}$ $\begin{cases} s_A \approx 7
s_B \approx 7,8 \end{cases} \Rightarrow s_A < s_B$. Vì vậy công ty A có mức lương đồng đều hơn công ty B. }
Nội dung
\hline Độ ẩm & & & & & & & & & & & &
\hline Đà Lạt & 83 & 79 & 79 & 87 & 87 & 87 & 88 & 89 & 90 & 91 & 88 & 86
\hline Vũng Tàu & 75 & 77 & 78 & 77 & 79 & 79 & 81 & 79 & 81 & 83 & 80 & 77
\hline \end{tabular} \end{center} (Nguồn: Niên giám Thống kê 2021, NXB Thống kê, 2022) Người ta lần lượt ghép các số liệu của Đà Lạt, Vũng Tàu thành mẫu số liệu ghép nhóm như sau: \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|l|c|c|} \hline \multicolumn{3}{|c|}{Đà Lạt} & \multicolumn{3}{|c|}{Vũng Tàu}
\hline Nhóm & Giá trị đại diện & Tần số & Nhóm & Giá trị đại diện & Tần số
\hline [75;78,3) & 76,65 & 0 & [75;78,3) & 76,65 & 5
\hline [78,3;81,6) & 79,95 & 2 & [78,3;81,6) & 79,95 & 6
\hline [81,6;84,9) & 83,25 & 1 & [81,6;84,9) & 83,25 & 1
\hline [84,9;88,2) & 86,55 & 6 & [84,9;88,2) & 86,55 & 0
\hline [88,2;91,5) & 89,85 & 3 & [88,2;91,5) & 89,85 & 0
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Xét số liệu ở Đà Lạt ta có khoảng biến thiên là 16,5 \item[b)] Xét số liệu ở Vũng Tàu thì khoảng tứ phân vị là 0,23 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) \item[c)] Xét số liệu ở Đà Lạt thì độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 3,28 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) \item[d)] Đà Lạt có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn so với ở Vũng Tàu vì có độ lệch chuẩn nhỏ hơn. \end{itemize} {4}-(m_1+...+m_{p-1})}{m_p}.(a_{p+1}-a_p)=75+\dfrac{3-0}{5}.3,3=76,98$ Ta có tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=a_p+\dfrac{\dfrac{3n}{4}-(m_1+...+m_{p-1})}{m_p}.(a_{p+1}-a_p)=78,3+\dfrac{9-5}{6}.3,3=80,5$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $Q_3-Q_1=80,5-76,98=3,52$ Vậy b) sai. c) Xét số liệu ở Đà Lạt: + Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\bar{x_1} = \dfrac{0.76,65+2.79,95+83,25+6.86,55+3.89,85}{12}=86$ + Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s_1^2 = \dfrac{0(76,65-86)^2+2(79,95-86)^2+(83,25-86)^2+6(86,55-86)^2+3(89,95-86)^2}{12} = 10,5875$ + Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s_1=\sqrt{s_1^2}=\sqrt{10,5875} \approx 3,25$ Vậy c) sai. d) Xét số liệu ở Vũng Tàu: + Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\bar{x_2} = \dfrac{5.76,65+6.79,95+83,25}{12}=78,85$ + Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s_2^2 = \dfrac{5(76,65-78,85)^2+6(79,95-78,85)^2+(83,25-78,85)^2}{12}=4,235$ + Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s_2=\sqrt{s_2^2}=\sqrt{4,235} \approx 2,06$ Vũng Tàu có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn. Vậy d) sai. }
Câu 153. (Đề thi vào ĐHSPHN 2025) Bảng sau thể hiện mẫu số liệu ghép nhóm về học phí (đơn vị: triệu đồng) mà 100 sinh viên đã chi trả trong bốn năm học đại học:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [50;60) & [60;70) & [70;80) & [80;90) & [90;100)
\hline
Tần số & 15 & 25 & 30 & 15 & 15
\hline
\end{tabular} \end{center}
Nội dung
\hline Số táo ở thùng A & 2 & 4 & 12 & 4 & 3
\hline Số táo ở thùng B & 1 & 3 & 7 & 10 & 4
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng các quả táo ở thùng A là $\Delta_Q \approx 11,7(g)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục). \item[b)] Lấy ngẫu nhiên một quả táo từ thùng A và một quả táo từ thùng B. Xác suất để hai quả táo lấy ra đều nặng từ 270g trở lên là 0,6384. \item[c)] Căn cứ vào phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên thì cân nặng quả táo ở thùng A phân tán hơn cân nặng quả táo ở thùng B. \item[d)] Lấy ngẫu nhiêu một quả táo ở thùng A. Xác suất để quả táo đó có cân nặng từ 280g trở lên là 0,28. \end{itemize} $ là khối lượng của 25 quả táo ở thùng A và được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=270+\dfrac{\dfrac{25}{4}-(2+4)}{12}.10 = \dfrac{6485}{24}$. Tứ phân vị thứ ba là $Q_3 = 280 + \dfrac{\dfrac{3.25}{4}-(2+4+12)}{4}.10=\dfrac{2255}{8}$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\Delta_Q = Q_3-Q_1 = \dfrac{2255}{8}-\dfrac{6485}{24}=\dfrac{35}{3} \approx 11,7$. Suy ra mệnh đề Đúng. b) Lấy ngẫu nhiên một quả táo từ thùng A và một quả táo từ thùng B. Xác suất để hai quả táo lấy ra đều nặng từ 270g trở lên là 0,6384. Gọi M là biến cố:: Lấy được một quả táo từ thùng A và một quả táo từ thùng B sao cho hai quả táo lấy ra đều nặng từ 270g trở lên”. Khi đó ta có: $n(\Omega)=25.25=625$ và $n(M)=(12+4+3).(7+10+4)=399$. Xác suất để hai quả táo lấy ra đều nặng từ 270g trở lên là $P(M)=\dfrac{n(M)}{n(\Omega)}=\dfrac{399}{625}=0,6384$. Suy ra mệnh đề Đúng. c) Căn cứ vào phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên thì cân nặng quả táo ở thùng A phân tán hơn cân nặng quả táo ở thùng B. \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Cân nặng (g) & [250;260) & [260;270) & [270;280) & [280;290) & [290;300)
\hline Giá trị đại diện & 255 & 265 & 275 & 285 & 295
\hline Số táo ở thùng A & 2 & 4 & 12 & 4 & 3
\hline Số táo ở thùng B & 1 & 3 & 7 & 10 & 4
\hline \end{tabular} \end{center} Thùng A Số trung bình: $\bar{x_A} = \dfrac{2.255+4.265+12.275+4.285+3.295}{25}=275,8$. Phương sai: $s_A^2 = \dfrac{2.255^2+4.265^2+12.275^2+4.285^2+3.295^2}{25}-(275,8)^2=111,36$ Thùng B Số trung bình: $\bar{x_B} = \dfrac{1.255+3.265+7.275+10.285+4.295}{25}=280,2$. Phương sai: $s_B^2 = \dfrac{1.255^2+3.265^2+7.275^2+10.285^2+4.295^2}{25}-(280,2)^2=104,96$ Ta thấy $s_A^2>s_B^2$ vì thế cân nặng quả táo ở thùng A phân tán hơn cân nặng quả táo ở thùng B. Suy ra mệnh đề Đúng. d) Lấy ngẫu nhiêu một quả táo ở thùng A. Xác suất để quả táo đó có cân nặng từ 280g trở lên là 0,28. Gọi N là biến cố: “Lấy được một quả táo từ thùng A có cân nặng từ 280g trở lên”. Khi đó ta có: $n(\Omega)=25$ và $n(N)=4+3=7$. Xác suất để lấy được quả táo nặng 280g trở lên ở thùng A là: $P(N) = \dfrac{n(N)}{n(\Omega)}=\dfrac{7}{25}=0,28$. Suy ra mệnh đề Đúng. }
Nội dung
\hline Số ngày & 5 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 79,17. \item[b)] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250(km). \item[c)] Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 155. \item[d)] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 55,68. \end{itemize} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Độ dài quãng đường (km) & [50;100) & [100;150) & [150;200) & [200;250) & [250;300)
\hline Giá trị đại diện & 75 & 125 & 175 & 225 & 275
\hline Số ngày & 5 & 10 & 9 & 4 & 2
\hline Tần số tích luỹ & 5 & 15 & 24 & 28 & 30
\hline \end{tabular} \end{center} a) Đúng: Ta có $n=5+10+9+4+2=30$. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_8 \in [100;150)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1 = 100 + \dfrac{\dfrac{30}{4}-5}{10}(150-100)=112,5$ Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{23} \in [150;200)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_3=150+\dfrac{\dfrac{3.30}{4}-(5+10)}{9}(200-150) = \dfrac{575}{3}$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_Q=Q_3-Q_1=\dfrac{575}{3}-112,5 \approx 79,17$ b) Đúng: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $R=300-50=250$(km). c) Sai: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\bar{x} = \dfrac{5.75+10.125+9.175+4.225+2.275}{30}=155$ d) Đúng: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s^2 = \dfrac{1}{30}[5.75^2+10.125^2+9.175^2+4.225^2+2.275^2]-155^2=3100$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{3100} \approx 55,68$. }
Nội dung
\hline Tần số & 1 & 8 & 18 & 10 & 1
\hline \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item[a)] Lớp có ít nhất 11 học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp. \item[b)] Chiều cao trung bình của lớp 12A1 là 164 (cm). \item[c)] Khoảng biến thiên mẫu số liệu trên là 50. \item[d)] Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của lớp tham gia đội tình nguyện. Xác suất để chọn được “5 học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm)” là $\dfrac{11}{38}$. \end{itemize} = \dfrac{145+155.8+165.18+175.10+185}{38} \approx 165,5$ a) Đúng Do $\bar{x} = \dfrac{145+155.8+165.18+175.10+185}{38} \approx 165,5$ thuộc nhóm 3 nên có ít nhất $10+1=11$ học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp. b) Sai Chiều cao trung bình của lớp 12A1 là $\bar{x} = \dfrac{145+155.8+165.18+175.10+185}{38} \approx 165,5$ c) Đúng Khoảng biến thiên mẫu số liệu trên là $190-140=50$ d) Sai Số học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm) là 11 học sinh. Do đó chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong lớp có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm) có $C_{11}^5$ cách. Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega)=C_{38}^5$. Vậy xác suất của biến cố A là $P(A)=\dfrac{C_{11}^5}{C_{38}^5}=\dfrac{11}{11951}$ }
Câu 157. (THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa 2025) Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Mức giá (triệu đồng/m$^2$) & [10;14) & [14;18) & [18;22) & [22;26) & [26;30)
\hline
Số khách hàng & 54 & 78 & 120 & 45 & 12
\hline
\end{tabular} \end{center}
Công ty nên xây nhà ở mức giá nào (bao nhiêu tiền một mét vuông) để nhiều người có nhu cầu mua nhất. Biết rằng Mốt của bảng số liệu trên là căn cứ để lựa chọn (đơn vị là triệu đồng và làm tròn đến hàng phần mười)?
Câu 158. (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc 2025) Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 5 & 9 & 12 & 10 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Trung bình mỗi học sinh tập bao nhiêu phút mỗi ngày? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 159. (THPT Lê Hồng Phong - Hải Phòng 2025) Người ta ghi chép lại trọng lượng (gam) một loại cá rô được nuôi trong ao theo một chế độ đặc biệt sau 6 tháng, họ có bảng tần số ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Trọng lượng & [60;70) & [70;80) & [80;90) & [90;100) & [100;110) & [110;120)
\hline
Số cá & 13 & 24 & 55 & 61 & 31 & 16
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tìm trung vị của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 160. (THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh 2025) Đo chiều dài của 80 con cá, kết quả thu được biểu diễn ở biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm như sau: Tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm nói trên.
Câu 161. (THPT Lý Thường Kiệt - Hà Nội 2025) Thời gian truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian & [9,5;12,5) & [12,5;15,5) & [15,5;18,5) & [18,5;21,5) & [21,5;24,5)
\hline
Số học sinh & 3 & 12 & 15 & 24 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Câu 162. (HSG Hải Phòng 2025) Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê doanh thu bán hàng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 ngày của một cửa hàng như sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Nhóm & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15)
\hline
Tần số & 2 & 7 & 7 & 3 & 1
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Câu 163. (THPT Trần Nguyên Hãn - Hải Phòng 2025) Bảng dưới biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 42 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét). Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Nhóm & Tần số & Tần số tích lũy
\hline
[40;45) & 5 & 5
\hline
[45;50) & 10 & 15
\hline
[50;55) & 7 & 22
\hline
[55;60) & 9 & 31
\hline
[60;65) & 7 & 38
\hline
[65;70) & 4 & 42
\hline
& n=42 &
\hline
\end{tabular} \end{center}
Câu 164. (Cụm trường Hải Dương 2025) Thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày ta được kết quả trong bảng ghép nhóm sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & x & 120 & y & 70 & 60
\hline
\end{tabular} \end{center}
Biết rằng x,y là các số nguyên dương và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng $\dfrac{845}{21}$. Khi đó, thời gian tự học trung bình của 400 học sinh (tính theo mẫu số liệu ghép nhóm trên) là bao nhiêu phút?
Câu 165. (THPT Sào Nam - Quảng Nam 2025) Để kiểm tra khối lượng (kg) của các bao xi măng. Người ta chọn ngẫu nhiên 35 bao và kết quả cho bảng số liệu sau
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Kg & [49,2;49,4) & [49,4;49,6) & [49,6;49,8) & [49,8;50,0) & [50,0;50,2)
\hline
Số bao & 5 & 9 & 10 & 7 & 4
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (chính xác đếm hàng phần trăm)
Câu 166. (THPT Nông Cống 3 - Thanh Hóa 2025) Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong 1 tuần của một nhóm sinh viên được cho ở bảng sau Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên(làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 167. (Sở Quảng Nam 2025) Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại trong một ngày của một lớp học thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Thời gian (phút) & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100)
\hline
Số học sinh & 7 & 11 & 15 & 6 & 3
\hline
\end{tabular} \end{center}
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Câu 168. (THPT Thuận Thành 1&2 - Bắc Ninh 2025) Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cự li (m) & [19;19,5) & [19,5;20) & [20;20,5) & [20,5;21) & [21;21,5)
\hline
Tần số & 13 & 45 & 24 & 12 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Nội dung
\hline Số trẻ & 3 & 3 & 10 & 15 & 7 & 2
\hline \end{tabular} \end{center} Tìm phương sai (làm tròn đến hàng phần chục) của 40 bé sơ sinh ở bảng thống kê trên. \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline Chiều cao(cm) & [44;46) & [46;48) & [48;50) & [52;54) & [54;56) & [56;58)
\hline Giá trị đại diện & 45 & 47 & 49 & 53 & 55 & 57
\hline Số trẻ & 3 & 3 & 10 & 15 & 7 & 2
\hline \end{tabular} \end{center} Cỡ mẫu $n=40$. Số trung bình của mẫu số liệu $\bar{x} = \dfrac{3.45+3.47+10.49+15.53+7.55+2.57}{40} = 51,5$. Phương sai mẫu số liệu $S^2 = \dfrac{1}{40}(3.45^2+3.47^2+10.49^2+15.53^2+7.55^2+2.57^2)-51,5^2=10,75$. Làm tròn phương sai đến hàng phần chục ta được kết quả phương sai là 10,8. }
Câu 170. (THPT Tư Nghĩa 1 - Quảng Ngãi 2025) Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Cự li (mm) & [19;19,5) & [19,5;20) & [20;20,5) & [20,5;21) & [21;21,5)
\hline
Tần số & 13 & 45 & 24 & 12 & 6
\hline
\end{tabular} \end{center}
Hãy tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).
Nội dung
\hline Tần số & 14 & 40 & 13 & 10 & 3
\hline \end{tabular} \end{center} Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Nhóm & [600;650) & [650;700) & [700;750) & [750;800) & [800;850)
\hline Tần số & 14 & 40 & 13 & 10 & 3
\hline Giá trị đại diện & 625 & 675 & 725 & 775 & 825
\hline \end{tabular} \end{center} Số trung bình của mẫu số liệu: $\bar{x} = \dfrac{625.14+675.40+725.13+775.10+875.3}{14+40+13+10+3} = 692,5$ Phương sai của mẫu số liệu: $s^2 = \dfrac{14.625^2+40.675^2+13.725^2+10.775^2+3.825^2}{80}-692,5^2 \approx 2631$ }
Câu 172. (THPT Khoa Học Giáo Dục - Hà Nội 2025) Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) mà bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:
\begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Độ dài quãng đường (km) & [50;100) & [100;150) & [150;200) & [200;250) & [250;300)
\hline
Số ngày & 5 & 10 & 9 & 9 & 2
\hline
\end{tabular} \end{center}
Hãy xác định độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên? (Nếu kết quả là số thập phân thì làm tròn đến hàng đơn vị)