CHUYÊN ĐỀ: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN

Môn Toán - Lớp 12

5 dạng bài 20 ví dụ 0 bài tập Cập nhật: 20/08/2025 Biên soạn: ThS. Nguyễn Thanh Bình

TÓM TẮT KIẾN THỨC

I. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ

Định Nghĩa

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)\) và số \(k\). Khi đó:

\(\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1; a_2+b_2; a_3+b_3)\)
\(\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1; a_2-b_2; a_3-b_3)\)
\(k\vec{a} = (ka_1; ka_2; ka_3)\)

Nhận xét

Hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b}\) với \(\vec{b} \neq \vec{0}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \vec{a} = k.\vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} a_1=k.b_1 \\ a_2=k.b_2 \\ a_3=k.b_3 \end{cases}\)

Chú ý

Từ nay, các bài tập liên quan đến tọa độ đều được xét trong không gian \(Oxyz\).

II. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định Nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)\) được xác định bởi công thức:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.\]

III. Vận dụng

Tọa độ điểm đầu cuối

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B)\). Ta có:

\[\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A).\]

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B)\). Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) là:

\[M\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right).\]

Tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\) có \(A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B)\) và \(C(x_C;y_C;z_C)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) là:

\[G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}; \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right).\]

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tọa độ tổng hiệu vectơ

Phương pháp giải:

Trong không gian \(Oxyz\), hai vectơ \(\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)\) và số thực \(k\).

\(\vec{a}+\vec{b} = (a_1+b_1; a_2+b_2; a_3+b_3)\)
\(\vec{a}-\vec{b} = (a_1-b_1; a_2-b_2; a_3-b_3)\)
\(k\vec{a} = (ka_1; ka_2; ka_3)\)
\(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \begin{cases} a_1=kb_1 \\ a_2=kb_2 \\ a_3=kb_3 \end{cases}\)

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tính toán tổng, hiệu và tích với số

Dạng 1

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a}=(2;-1;5)\) và \(\vec{b}=(0;-2;-4)\). Tìm tọa độ của các vectơ sau: \(\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}, 5\vec{a}, 2\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}\).

Lời giải:

Ta có:

\(\vec{a}+\vec{b}=(2+0; (-1)+(-2); 5+(-4)) = (2;-3;1)\).

\(\vec{a}-\vec{b}=(2-0; (-1)-(-2); 5-(-4)) = (2;1;9)\).

\(5\vec{a}=(5 \cdot 2; 5 \cdot (-1); 5 \cdot 5) = (10;-5;25)\).

\(2\vec{a}=(4;-2;10)\), \(\frac{1}{2}\vec{b}=(0;-1;-2)\). Do đó: \(2\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}=(4-0; -2-(-1); 10-(-2))=(4;-1;12)\).

Ví dụ 2: Chứng minh tam giác

Dạng 1

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(-1;-3;-2), B(2;3;4)\) và \(C(3;5;7)\). Chứng minh rằng ba điểm \(A,B,C\) tạo thành tam giác.

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(2-(-1);3-(-3);4-(-2))=(3;6;6); \overrightarrow{AC}=(3-(-1);5-(-3);7-(-2))=(4;8;9)\).

Vì \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8} \neq \frac{6}{9}\) nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương.

Kết luận: Vậy ba điểm \(A,B,C\) tạo thành tam giác.

Ví dụ 3: Tọa độ vectơ thỏa điều kiện

Dạng 1

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(3;2;1), B(1;-1;2)\) và \(C(1;2;-1)\). Tìm tọa độ vectơ \(\vec{u}\) thỏa \(\vec{u}=\overrightarrow{BC}-3\overrightarrow{AO}\).

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow{BC}=(1-1;2-(-1);-1-2)=(0;3;-3), \overrightarrow{AO}=(-3;-2;-1)\).

Do đó: \(\vec{u}=\overrightarrow{BC}-3\overrightarrow{AO}=(0-3 \cdot (-3); 3-3 \cdot (-2); -3-3 \cdot (-1))=(9;9;0)\).

Dạng 2: Tọa độ điểm - vectơ thỏa điều kiện

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai vectơ: \(\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\).
\(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc \(\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{b}=0 \Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\).
\(I\) là trung điểm \(AB: I\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right) \rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0} \Rightarrow \forall M: \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
\(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC: G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}; \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right) \rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0} \Rightarrow \forall M: \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).
\(G\) là trọng tâm chóp \(ABCD: G\left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}; \frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}; \frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4}\right) \rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0} \Rightarrow \forall M: \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}\).

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 4: Tọa độ điểm thỏa điều kiện

Dạng 2

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;2;-1), B(2;-1;3)\) và \(C(-3;5;1)\). Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}\).

Lời giải:

Gọi \(D(x;y;z)\) là điểm cần tìm.

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(2-1;-1-2;3-(-1))=(1;-3;4), \overrightarrow{DC}=(-3-x;5-y;1-z)\).

\(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \begin{cases} 1=2(-3-x) \\ -3=2(5-y) \\ 4=2(1-z) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -\frac{7}{2} \\ y = \frac{13}{2} \\ z=-1 \end{cases}\).

Kết luận: Vậy \(D\left(-\frac{7}{2};\frac{13}{2};-1\right)\).

Ví dụ 5: Trung điểm của đoạn thẳng

Dạng 2

Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2)\) và \(D(2;2;2)\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AB\) và \(CD\). Xác định tọa độ trung điểm \(I\) của \(MN\).

Lời giải:

Ta có \(M\) là trung điểm \(AB \Rightarrow M\left(\frac{2+0}{2};\frac{0+2}{2};\frac{0+0}{2}\right) \Rightarrow M(1;1;0)\).

Và \(N\) là trung điểm \(CD \Rightarrow N\left(\frac{0+2}{2};\frac{0+2}{2};\frac{2+2}{2}\right) \Rightarrow N(1;1;2)\).

Vậy \(I\) là trung điểm \(MN \Rightarrow I\left(\frac{1+1}{2};\frac{1+1}{2};\frac{0+2}{2}\right) \Rightarrow I(1;1;1)\).

Ví dụ 6: Chân đường cao tam giác

Dạng 2

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;2;-1)\) và \(B(0;-2;3)\). Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh \(O\) của tam giác \(OAB\).

Lời giải:

Gọi \(K(x;y;z)\) là điểm cần tìm.

Ta có: \(\overrightarrow{AK}=(x-1;y-2;z+1), \overrightarrow{AB}=(0-1;-2-2;3-(-1))=(-1;-4;4)\).

Vì \(A,K,B\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow{AK}=k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \begin{cases} x-1=k \cdot (-1) \\ y-2=k \cdot (-4) \\ z+1=k \cdot 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-k+1 \\ y=-4k+2 \\ z=4k-1 \end{cases}\).

\(\Rightarrow K(-k+1;-4k+2;4k-1) \Rightarrow \overrightarrow{OK}=(-k+1;-4k+2;4k-1)\).

Vì \(OK \perp AB\) nên \(\overrightarrow{OK} \cdot \overrightarrow{AB}=0 \Leftrightarrow (-k+1) \cdot (-1)+(-4k+2) \cdot (-4)+(4k-1) \cdot 4=0 \Leftrightarrow k=\frac{13}{33}\).

Vậy \(K\left(\frac{20}{33};\frac{14}{33};\frac{19}{33}\right)\).

Ví dụ 7: Tọa độ trọng tâm tam giác

Dạng 2

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\) biết \(A(2;4;-3)\) có trọng tâm \(G(2;1;0)\). Khi đó xác định tọa độ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

Lời giải:

Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(BC\), \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\) (quy tắc hình bình hành).

Và \(\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}\).

Do đó \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}=2 \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}=3(2-2;1-4;0-(-3))=(0;-9;9)\).

Dạng 3: Độ dài vectơ

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A) \rightarrow AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
Độ dài vectơ \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2} \rightarrow |\vec{a}|^2=\vec{a}^2=(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2\).

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 8: Tính độ dài đoạn thẳng

Dạng 3

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(1;2;-1)\) và \(B(0;3;1)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(0-1;3-2;1-(-1))=(-1;1;2) \Rightarrow AB = \sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}\).

Ví dụ 9: Tính chu vi tam giác

Dạng 3

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2)\). Tìm chu vi của \(\Delta ABC\).

Lời giải:

Theo công thức tính độ dài ta được:

\(AB = \sqrt{(2-1)^2+(1-0)^2+(-1+2)^2}=\sqrt{3}\);

\(BC = \sqrt{(1-2)^2+(-2-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{19}\);

\(AC = \sqrt{(1-1)^2+(-2-0)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

Chu vi của \(\Delta ABC: \sqrt{3}+\sqrt{19}+2\sqrt{5}\).

Ví dụ 10: Tính diện tích tam giác

Dạng 3

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(1;2;-1), B(0;3;1); C(3;2;0)\). Tính diện tích \(\Delta ABC\) (nếu có).

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(0-1;3-2;1-(-1))=(-1;1;2)\) và \(\overrightarrow{AC}=(3-1;2-2;0-(-1))=(2;0;1)\) không cùng phương nên ba điểm \(A;B;C\) lập thành tam giác.

Và \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=(-1) \cdot 2+1 \cdot 0+2 \cdot 1=0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\).

Mặt khác \(AB=\sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}\) và \(AC=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{5}\).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC=\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}=\frac{\sqrt{30}}{2}\).

Ví dụ 11: Tìm điểm trên đoạn thẳng

Dạng 3

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(2;0;0), B(0;3;1), C(-3;6;4)\). Tìm điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) sao cho \(MC=2MB\). Tìm độ dài đoạn \(AM\).

Lời giải:

Giả sử \(M(a;b;c) \Rightarrow \overrightarrow{BM}=(a-0;b-3;c-1)\) và \(\overrightarrow{BC}=(-3-0;6-3;4-1)=(-3;3;3)\).

Điểm \(M \in BC: MC=2MB \Rightarrow \overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{3} \cdot (-3) \\ b-3=\frac{1}{3} \cdot 3 \\ c-1=\frac{1}{3} \cdot 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-1 \\ b=4 \\ c=2 \end{cases} \Rightarrow M(-1;4;2)\).

Vậy \(AM = \sqrt{(-1-2)^2+(4-0)^2+(2-0)^2} = \sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}\).

Dạng 4: Sự cùng phương của hai vectơ

Phương pháp giải:

Xét hai vectơ \(\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)\) ta có:

Hai vectơ bằng nhau: \(\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} a_1=b_1 \\ a_2=b_2 \\ a_3=b_3 \end{cases}\)
Vectơ \(\vec{a}\) cùng phương vectơ \(\vec{b}: \vec{a}=k \cdot \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} a_1=k \cdot b_1 \\ a_2=k \cdot b_2 \\ a_3=k \cdot b_3 \end{cases}\)

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 12: Kiểm tra sự cùng phương

Dạng 4

Trong không gian \(Oxyz\), cho các vectơ \(\vec{a}=(4;1;-2); \vec{b}=(1;-2;-1); \vec{c}=(8;2;-4); \vec{d}=(-4;-1;2)\). Vectơ \(\vec{a}=(4;1;-2)\) cùng phương với vectơ nào đã cho?

Lời giải:

Xét \(\vec{a}=(4;1;-2), \vec{b}=(1;-2;-1) \Rightarrow \frac{4}{1} \neq \frac{1}{-2} \neq \frac{-2}{-1}\) nên \(\vec{a}\) không cùng phương \(\vec{b}\).

Xét \(\vec{a}=(4;1;-2), \vec{c}=(8;2;-4) \Rightarrow \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = \frac{-2}{-4}\) nên \(\vec{a}\) cùng phương \(\vec{c}\).

Xét \(\vec{a}=(4;1;-2), \vec{d}=(-4;-1;2) \Rightarrow \frac{4}{-4} = \frac{1}{-1} = \frac{-2}{2}\) nên \(\vec{a}\) cùng phương \(\vec{d}\).

Kết luận: Vectơ \(\vec{a}\) cùng phương với vectơ \(\vec{c}\) và \(\vec{d}\).

Ví dụ 13: Tìm tham số để cùng phương

Dạng 4

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a}=(1;1;5)\) và \(\vec{b}=(m+1;2n;10)\). Tìm \(m,n\) để hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương.

Lời giải:

Để hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương khi và chỉ khi \(\begin{cases} a_1=k b_1 \\ a_2=k b_2 \\ a_3=k b_3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1=k(m+1) \\ 1=k(2n) \\ 5=k \cdot 10 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ 1=\frac{1}{2}(m+1) \\ 1=\frac{1}{2}(2n) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m=1 \\ n=1 \end{cases}\).

Kết luận: Vậy \(m=1; n=1\).

Ví dụ 14: Điểm thẳng hàng

Dạng 4

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(2;-1;5), B(5;-5;7), M(x;y;1)\). Với giá trị nào của \(x,y\) thì \(A,B,M\) thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(5-2;-5-(-1);7-5)=(3;-4;2), \overrightarrow{AM}=(x-2;y+1;1-5)=(x-2;y+1;-4)\).

\(A,B,M\) thẳng hàng \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{-4}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-4 \\ y=7 \end{cases}\).

Ví dụ 15: Tỉ số trên đường thẳng

Dạng 4

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(-2;3;1)\) và \(B(5;6;2)\). Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \((Oxz)\) tại điểm \(M\). Tính tỉ số \(\frac{AM}{BM}\).

Lời giải:

\(M \in (Oxz) \Rightarrow M(x;0;z); \overrightarrow{AB}=(5-(-2);6-3;2-1)=(7;3;1) \Rightarrow AB=\sqrt{59}; \overrightarrow{AM}=(x+2;0-3;z-1)=(x+2;-3;z-1)\).

\(A,B,M\) thẳng hàng \(\Rightarrow \overrightarrow{AM}=k \cdot \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \begin{cases} x+2=7k \\ -3=3k \\ z-1=k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} k=-1 \\ x=-9 \\ z=0 \end{cases} \Rightarrow M(-9;0;0)\).

\(\overrightarrow{BM}=(-9-5;0-6;0-2)=(-14;-6;-2), \overrightarrow{AM}=(-9-(-2);0-3;0-1)=(-7;-3;-1) \Rightarrow AM=\sqrt{59}, BM=2\sqrt{59} \Rightarrow \frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}\).

Dạng 5: Tích vô hướng và ứng dụng

Phương pháp giải:

Xét hai vectơ \(\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)\) ta có:

Tích vô hướng hai vectơ: \(\begin{cases} \vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 \cdot b_1+a_2 \cdot b_2+a_3 \cdot b_3 \\ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a};\vec{b}) \end{cases}\)
Góc giữa 2 vectơ: \(\cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\)
Chú ý: Khi \(\vec{a} \cdot \vec{b}>0\) thì \(\cos(\vec{a};\vec{b})>0 \Rightarrow (\vec{a};\vec{b})\) là góc nhọn.
Khi \(\vec{a} \cdot \vec{b}<0\) thì \(\cos(\vec{a};\vec{b})<0 \Rightarrow (\vec{a};\vec{b})\) là góc tù.
Vectơ \(\vec{a}\) vuông góc vectơ \(\vec{b}: \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\).
Bài toán liên quan giữa độ dài và tích vô hướng:
Cho hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) có \(|\vec{u}|=m; |\vec{v}|=n\) và tạo với nhau một góc \(\alpha\). Tính \(|\vec{u}+\vec{v}|\) hoặc \(|\vec{u}-\vec{v}|\) hoặc tùy vào yêu cầu bài toán.
Hướng giải quyết:
- Bước 1: Biến đổi \((|\vec{u}+\vec{v}|)^2 = (\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2+2\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^2\)
- Bước 2: Áp dụng: \(\begin{cases} \vec{u}^2=|\vec{u}|^2 \\ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a};\vec{b}) \end{cases}\)
  Để biến đổi: \(\vec{u}^2+2\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^2=|\vec{u}|^2+2|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u};\vec{v})+|\vec{v}|^2\)
- Bước 3: Lắp các dữ kiện giả thiết vào công thức \(\Rightarrow |\vec{u}+\vec{v}|=?\)

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 16: Tính cosin góc giữa hai vectơ

Dạng 5

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\vec{a}=(-3;4;0), \vec{b}=(5;0;12)\). Tính cosin của góc giữa \(\vec{a};\vec{b}\).

Lời giải:

Ta có: \(\cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}=\frac{(-3) \cdot 5+4 \cdot 0+0 \cdot 12}{\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2} \cdot \sqrt{5^2+0^2+12^2}}=-\frac{3}{13}\).

Ví dụ 17: Cosin góc trong tam giác

Dạng 5

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(-1;-2;3), B(0;3;1), C(4;2;2)\). Cosin của \(\widehat{BAC}\) bằng

Lời giải:

Ta có \(\cos\widehat{BAC}=\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}\) mà: \(\overrightarrow{AB}=(0-(-1);3-(-2);1-3)=(1;5;-2), \overrightarrow{AC}=(4-(-1);2-(-2);2-3)=(5;4;-1)\).

\(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{1 \cdot 5+5 \cdot 4+(-2) \cdot (-1)}{\sqrt{1^2+5^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{5^2+4^2+(-1)^2}}=\frac{27}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{42}}=\frac{9}{2\sqrt{35}}\).

Ví dụ 18: Tìm tham số để vuông góc

Dạng 5

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a}=(2;1;-2), \vec{b}=(0;-\sqrt{2};\sqrt{2})\). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hai vectơ \(\vec{u}=2\vec{a}+3m\vec{b}\) và \(\vec{v}=m\vec{a}-\vec{b}\) vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có: \(\begin{cases} \vec{u}=2\vec{a}+3m\vec{b}=(4;2-3m\sqrt{2};-4+3m\sqrt{2}) \\ \vec{v}=m\vec{a}-\vec{b}=(2m;m+\sqrt{2};-2m-\sqrt{2}) \end{cases}\).

Khi đó: \(\vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow 4 \cdot 2m+(2-3m\sqrt{2}) \cdot (m+\sqrt{2})+(-4+3m\sqrt{2}) \cdot (-2m-\sqrt{2})=0\).

\(\Leftrightarrow 9m^2\sqrt{2}-6m-6\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow m = \frac{\pm\sqrt{26}+\sqrt{2}}{6}\).

Ví dụ 19: Góc giữa hai vectơ

Dạng 5

Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\vec{u}=(1;1;-2), \vec{v}=(1;0;m)\). Tìm \(m\) để góc giữa hai vectơ \(\vec{u},\vec{v}\) bằng \(45^\circ\).

Lời giải:

Ta có: \(\cos(\vec{u},\vec{v})=\cos 45^\circ \Leftrightarrow \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{1 \cdot 1+1 \cdot 0+(-2) \cdot m}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+m^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

\(\Leftrightarrow \frac{1-2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1+m^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow 1-2m=\sqrt{3+3m^2} \Leftrightarrow \begin{cases} 1-2m \ge 0 \\ (1-2m)^2=3+3m^2 \end{cases}\).

\(\Leftrightarrow \begin{cases} m \le \frac{1}{2} \\ m^2-4m-2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \le \frac{1}{2} \\ m=2 \pm \sqrt{6} \end{cases} \Leftrightarrow m=2-\sqrt{6}\).

Ví dụ 20: Tính độ dài tổng vectơ

Dạng 5

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) tạo với nhau một góc \(120^\circ\) và \(|\vec{u}|=2, |\vec{v}|=5\). Tính \(|\vec{u}+\vec{v}|\).

Lời giải:

Ta có: \(|\vec{u}+\vec{v}|^2 = (\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2+2\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^2 = |\vec{u}|^2+2|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u};\vec{v})+|\vec{v}|^2 = 2^2+2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2})+5^2=19\).

Suy ra \(|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{19}\).

Dạng 6: Tâm tỷ cự

Phương pháp giải:

Bài toán cực trị độ dài vectơ:
Cho \(n\) điểm \(A_1;A_2;...;A_n\) và các hệ số \(k_1;k_2;...;k_n\) sao cho \(k=k_1+k_2+...+k_n \neq 0\) và đường thẳng \(d\) hoặc mặt phẳng \((P)\). Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(d\) hoặc mặt phẳng \((P)\), sao cho \(|k_1\overrightarrow{MA_1}+k_2\overrightarrow{MA_2}+...+k_n\overrightarrow{MA_n}|\) nhỏ nhất.
Hướng giải quyết:
- Bước 1: Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(k_1\overrightarrow{IA_1}+k_2\overrightarrow{IA_2}+...+k_n\overrightarrow{IA_n}=\vec{0}\).
- Bước 2: Áp dụng quy tắc ba điểm biến đổi: \(|k_1\overrightarrow{MA_1}+...+k_n\overrightarrow{MA_n}|=|(k_1+...+k_n)\overrightarrow{MI}|=|k||\overrightarrow{MI}|\).
- Bước 3: Tìm độ dài nhỏ nhất của các vectơ đã cho xảy ra khi \(M\) xảy ra ở vị trí nào?
Bài toán cực trị độ dài bình phương vectơ:
Cho đa giác \(A_1A_2...A_n\) và các hệ số \(k_1;k_2;...;k_n\) sao cho \(k=k_1+...+k_n>0\). Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(d\) hoặc mặt phẳng \((P)\), sao cho tổng \(S=k_1MA_1^2+...+k_nMA_n^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng giải quyết:
- Bước 1: Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(k_1\overrightarrow{IA_1}+k_2\overrightarrow{IA_2}+...+k_n\overrightarrow{IA_n}=\vec{0}\).
- Bước 2: Thấy rằng \(MA_i^2 = \overrightarrow{MA_i}^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_i})^2=MI^2+2\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA_i}+IA_i^2\).
  Áp dụng quy tắc ba điểm biến đổi: \(S=k_1MA_1^2+...+k_nMA_n^2 = k_1(MI^2+2\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA_1}+IA_1^2)+...+k_n(MI^2+2\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA_n}+IA_n^2)\)
  \(= (k_1+...+k_n)MI^2 + (k_1IA_1^2+...+k_nIA_n^2)+2\overrightarrow{MI}(k_1\overrightarrow{IA_1}+...+k_n\overrightarrow{IA_n})\)
  \(= (k_1+...+k_n)MI^2 + (k_1IA_1^2+...+k_nIA_n^2)\).
- Bước 3: Do \(k>0\), để \(S=k_1MA_1^2+...+k_nMA_n^2\) đạt giá trị nhỏ nhất thì ta xác định vị trí điểm \(M\) cần tìm.
Chú ý: Cho đa giác \(A_1A_2...A_n\) và các hệ số \(k_1;k_2;...;k_n\) sao cho \(k=k_1+...+k_n<0\). Tìm điểm \(M\) trên \(d\) hoặc \((P)\), sao cho tổng \(S=k_1MA_1^2+...+k_nMA_n^2\) đạt giá trị lớn nhất. Ta cũng thực hiện tương tự.

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 21: Tâm tỷ cự tứ diện

Dạng 6

Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(2;-3;7), B(0;4;1), C(3;0;5)\) và \(D(3;3;3)\). Gọi \(M\) là điểm nằm trên mặt phẳng \((Oyz)\) sao cho biểu thức \(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó xác định tọa độ điểm \(M\).

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(0-2;4-(-3);1-7)=(-2;7;-6), \overrightarrow{AC}=(3-2;0-(-3);5-7)=(1;3;-2), \overrightarrow{AD}=(3-2;3-(-3);3-7)=(1;6;-4)\) nên \([\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}] \cdot \overrightarrow{AD}=-4 \neq 0\).

Suy ra \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) không đồng phẳng.

Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD\). Khi đó \(G\left(\frac{2+0+3+3}{4};\frac{-3+4+0+3}{4};\frac{7+1+5+3}{4}\right)=(2;1;4)\).

Ta có \(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|=|4\overrightarrow{MG}|=4MG\).

Do đó \(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MG\) ngắn nhất.

Vậy \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên mặt phẳng \((Oyz)\) nên \(M(0;1;4)\).

Ví dụ 22: Cực trị độ dài bình phương

Dạng 6

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow{OA}=\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}, B(2;2;1)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục tung sao cho \(MA^2+MB^2\) nhỏ nhất.

Lời giải:

Cách 1:

Do \(M \in Oy\), nên \(M(0;y;0)\).

Ta có \(A(1;1;-3)\).

Tính \(MA^2+MB^2 = (0-1)^2+(y-1)^2+(0-(-3))^2 + (0-2)^2+(y-2)^2+(0-1)^2 = 2y^2-6y+20=f(y)\).

Do đó \(f(y)\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(y = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2}\). Vậy \(M(0;\frac{3}{2};0)\).

Cách 2:

Ta có \(A(1;1;-3)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra \(I\left(\frac{1+2}{2};\frac{1+2}{2};\frac{-3+1}{2}\right)=(\frac{3}{2};\frac{3}{2};-1)\).

Khi đó \(MA^2+MB^2 = (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2 = 2MI^2+IA^2+IB^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}) = 2MI^2+2IA^2\).

Do đó \(MA^2+MB^2\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MI\) có độ dài ngắn nhất \(\Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên trục tung.

Vậy \(M(0;\frac{3}{2};0)\).

VÍ DỤ MINH HỌA THÊM

Ví dụ 23: Tính toán vectơ

Dạng 1

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a} = (2; 1; 5)\) và \(\vec{b} = (2; 2; 1)\). Tìm tọa độ của mỗi vectơ sau:

a) \(\vec{a} - \vec{b}\); b) \(3\vec{a} + 2\vec{b}\).

Lời giải:

a) Vì \(\vec{a} = (2; 1; 5)\) và \(\vec{b} = (2; 2; 1)\) nên \(\vec{a} - \vec{b} = (2-2; 1-2; 5-1) = (0; -1; 4)\).

b) Ta có \(3\vec{a} = (3 \cdot 2; 3 \cdot 1; 3 \cdot 5) = (6; 3; 15)\) và \(2\vec{b} = (2 \cdot 2; 2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (4; 4; 2)\).

Do đó \(3\vec{a} + 2\vec{b} = (6+4; 3+4; 15+2) = (10; 7; 17)\).

Ví dụ 24: Tìm vectơ cùng phương

Dạng 4

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\vec{p} = (3; -2; 1), \vec{q} = (6; -4; 2), \vec{r} = (2; 1; -3)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec{c} = 2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}\).

b) Tìm hai vectơ cùng phương trong các vectơ đã cho.

Lời giải:

a) Ta có: \(2\vec{p} = (6; -4; 2), -3\vec{q} = (-18; 12; -6), \vec{r} = (2; 1; -3)\).

Suy ra \(\vec{c} = 2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r} = (6+(-18)+2; -4+12+1; 2+(-6)+(-3)) = (-10; 9; -7)\).

b) Ta có \(2\vec{p} = (6; -4; 2) = \vec{q}\), suy ra hai vectơ \(\vec{p}, \vec{q}\) cùng phương.

Do \(\frac{3}{2} \neq \frac{-2}{1}\) nên \(\vec{p}, \vec{r}\) không cùng phương. Tương tự, hai vectơ \(\vec{q}, \vec{r}\) không cùng phương.

Ví dụ 25: Tính toán vectơ

Dạng 1

Cho \(\vec{a} = (-2; 3; 2), \vec{b} = (2; 1; -1), \vec{c} = (1; 2; 3)\). Tính tọa độ của mỗi vectơ sau:

a) \(3\vec{a}\); b) \(2\vec{a} - \vec{b}\); c) \(\vec{a} + 2\vec{b} - \frac{3}{2}\vec{c}\).

Lời giải:

a) Ta có: \(3\vec{a} = (3 \cdot (-2); 3 \cdot 3; 3 \cdot 2) = (-6; 9; 6)\).

b) Ta có \(2\vec{a} = (-4; 6; 4)\) và \(\vec{b} = (2; 1; -1)\). Do đó, \(2\vec{a} - \vec{b} = (-4-2; 6-1; 4-(-1)) = (-6; 5; 5)\).

c) Do \(\vec{a} = (-2; 3; 2)\) và \(2\vec{b} = (4; 2; -2)\) nên \(\vec{a} + 2\vec{b} = (2; 5; 0)\). Ngoài ra, vì \(-\frac{3}{2}\vec{c} = (-\frac{3}{2}; -3; -\frac{9}{2})\) nên \(\vec{a} + 2\vec{b} - \frac{3}{2}\vec{c} = (2-\frac{3}{2}; 5-3; 0-\frac{9}{2}) = (\frac{1}{2}; 2; -\frac{9}{2})\).

Ví dụ 26: Trung điểm và trọng tâm

Dạng 2

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1; 2; 3), B(3; 2; 1)\) và \(C(2; -1; 5)\). Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) và tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

Lời giải:

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên tọa độ của điểm \(M\) là \(\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+2}{2};\frac{3+1}{2}\right)\), suy ra \(M(2; 2; 2)\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên tọa độ của điểm \(G\) là \(\left(\frac{1+3+2}{3};\frac{2+2+(-1)}{3};\frac{3+1+5}{3}\right)\), suy ra \(G(2; 1; 3)\).

Ví dụ 27: Trung điểm và trọng tâm tam giác

Dạng 2

Cho tam giác \(ABC\) có \(A(-2; 1; 0), B(0; 2; 5), C(5; 0; 2)\). Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) và trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

Lời giải:

Do \(M(x_M; y_M; z_M)\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên \(x_M = \frac{-2+0}{2}=-1; y_M = \frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}; z_M=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}\). Vậy \(M(-1; \frac{3}{2}; \frac{5}{2})\).
Do \(G(x_G; y_G; z_G)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(x_G = \frac{-2+0+5}{3}=1; y_G = \frac{1+2+0}{3}=1; z_G = \frac{0+5+2}{3}=\frac{7}{3}\). Vậy \(G(1; 1; \frac{7}{3})\).

Ví dụ 28: Trung điểm và trọng tâm tam giác

Dạng 2

Cho tam giác \(ABC\) có \(A(1; -1; 1), B(0; 1; 2), C(1; 0; 1)\). Tìm tọa độ:

a) Trung điểm \(M\) của \(AB\); b) Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

Lời giải:

a) Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(M\left(\frac{1+0}{2}; \frac{-1+1}{2}; \frac{1+2}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}; 0; \frac{3}{2}\right)\).

b) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(G\left(\frac{1+0+1}{3}; \frac{-1+1+0}{3}; \frac{1+2+1}{3}\right) = G\left(\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3}\right)\).

Ví dụ 29: Tích vô hướng và độ dài vectơ

Dạng 5

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a} = (1; 4; 2)\) và \(\vec{b} = (-4; 1; 0)\).

a) Tính \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) và cho biết hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có vuông góc với nhau hay không.

b) Tính độ dài của vectơ \(\vec{a}\).

Lời giải:

a) Ta có: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -4 + 4 + 0 = 0\). Do đó, hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc với nhau.

b) Độ dài của vectơ \(\vec{a}\) là \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}\).

Ví dụ 30: Tọa độ và độ dài trong hình chóp

Dạng 3

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Giả sử \(SA=2, AB=3, AD=4\). Xét hệ tọa độ \(Oxyz\) với \(O\) trùng \(A\) và các tia \(Ox, Oy, Oz\) lần lượt trùng với các tia \(AB, AD, AS\).

a) Xác định tọa độ của các điểm \(S, A, B, C, D\).

b) Tính \(BD\) và \(SC\).

c) Tính góc \((\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC})\).

Lời giải:

a) Vì \(A\) trùng gốc tọa độ nên \(A(0;0;0)\). Vì \(B\) thuộc tia \(Ox\) và \(AB=3\) nên \(B(3;0;0)\). Vì \(D\) thuộc tia \(Oy\) và \(AD=4\) nên \(D(0;4;0)\). Vì \(S\) thuộc tia \(Oz\) và \(AS=2\) nên \(S(0;0;2)\). Vì hình chiếu của \(C\) lên các trục \(Ox, Oy, Oz\) lần lượt là \(B, D, A\) nên \(C(3;4;0)\).

b) Ta có \(\overrightarrow{BD} = (0-3; 4-0; 0-0) = (-3; 4; 0)\), suy ra \(BD = |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\).

Ta có \(\overrightarrow{SC} = (3-0; 4-0; 0-2) = (3; 4; -2)\), suy ra \(SC = |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}\).

c) Ta có \(\cos(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{SC}|} = \frac{(-3) \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-2)}{5 \cdot \sqrt{29}} = \frac{-9 + 16 + 0}{5 \sqrt{29}} = \frac{7}{5 \sqrt{29}}\).

Suy ra \((\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) \approx \arccos\left(\frac{7}{5 \sqrt{29}}\right) \approx 74.9^\circ\).

Ví dụ 31: Tích vô hướng và kiểm tra vuông góc

Dạng 5

Cho ba vectơ \(\vec{a}=(3; 0; 1), \vec{b}=(1; -1; -2), \vec{c}=(2; 1; -1)\).

a) Tính \(\vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}\).

b) Tính \(|\vec{a}|, |\vec{b}|, \cos(\vec{a}, \vec{b})\).

c) Cho \(\vec{d}=(1; 7; -3)\). Chứng minh \(\vec{d} \perp \vec{a}\).

Lời giải:

a) Ta có: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 3 + 0 - 2 = 1\).

\(\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 2 - 1 + 2 = 3\).

b) Ta có: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}\).

\(|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\).

\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{15}}{30}\).

c) Ta có \(\vec{d} \cdot \vec{a} = 1 \cdot 3 + 7 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = 3 + 0 - 3 = 0\), suy ra \(\vec{d} \perp \vec{a}\).

Dạng 6: Ứng dụng thực tế

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức về tọa độ, vectơ, độ dài, và tích vô hướng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến chuyển động, khoảng cách, hoặc vị trí trong không gian.

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 32: Tọa độ máy bay

Dạng 6

Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(A(800; 500; 7)\) đến điểm \(B(940; 550; 8)\) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Lời giải:

Gọi \(C(x; y; z)\) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng.
Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) gấp đôi thời gian bay từ \(B\) đến \(C\) nên \(AB = 2BC\).
Do đó \(\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \left(\frac{940-800}{2}; \frac{550-500}{2}; \frac{8-7}{2}\right) = (70; 25; 0.5)\).
Mặt khác, \(\overrightarrow{BC} = (x-940; y-550; z-8)\) nên \(\begin{cases} x-940=70 \\ y-550=25 \\ z-8=0.5 \end{cases}\).
Từ đó \(\begin{cases} x=1010 \\ y=575 \\ z=8.5 \end{cases}\) và vì vậy \(C(1010; 575; 8.5)\).
Kết luận: Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \((1010; 575; 8.5)\).

Ví dụ 33: Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu

Dạng 6

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét.

a) Tìm tọa độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ tọa độ đã chọn.

b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là \((2; 1; 0.5)\) (2 km nam, 1 km đông, 0.5 km cao).

Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là \((-1; -1.5; 0.8)\) (1 km bắc, 1.5 km tây, 0.8 km cao).

b) Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là:

\(\sqrt{(-1-2)^2 + (-1.5-1)^2 + (0.8-0.5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2.5)^2 + (0.3)^2} = \sqrt{9 + 6.25 + 0.09} = \sqrt{15.34} \approx 3.92 \, \text{km}\).

Kết luận: Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là khoảng \(3.92 \, \text{km}\).

Ví dụ 34: So sánh khoảng cách khinh khí cầu

Dạng 6

Trong Ví dụ 33, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Theo Ví dụ 33, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là \(A(2; 1; 0.5)\), khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là \(B(-1; -1.5; 0.8)\).
Ta có: \(OA = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0.5^2} = \sqrt{4 + 1 + 0.25} = \sqrt{5.25} = \frac{\sqrt{21}}{2} \, \text{km}\).
\(OB = \sqrt{(-1)^2 + (-1.5)^2 + 0.8^2} = \sqrt{1 + 2.25 + 0.64} = \sqrt{3.89} = \frac{\sqrt{389}}{10} \, \text{km}\).
Vì \(\sqrt{5.25} \approx 2.29 > \sqrt{3.89} \approx 1.97\), nên \(OA > OB\).
Kết luận: Khinh khí cầu thứ nhất ở xa điểm xuất phát hơn vì \(OA > OB\).

CÔNG CỤ HỖ TRỢ

Tài liệu đầy đủ có hình ảnh và công thức

Tải PDF