Lời giải:

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 12x^2 + 6x - 36\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 12x^2 + 6x - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -2 \\ x = \frac{3}{2} \end{array}\right.\)

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -2)\) và \((\frac{3}{2}; +\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-2; \frac{3}{2})\).

Lời giải:

Tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).

Ta có: \(f'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - 1 \cdot (x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2} > 0, \forall x \neq -1\).

Kết luận: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định là \((-\infty; -1)\) và \((-1; +\infty)\).

Lời giải:

Điều kiện: \(-x^2 + 4 \geq 0 \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 2\). Tập xác định \(D = [-2; 2]\).

Ta có: \(y' = \frac{(-x^2+4)'}{2\sqrt{-x^2+4}} = \frac{-2x}{2\sqrt{-x^2+4}} = \frac{-x}{\sqrt{-x^2+4}}\). Cho \(y' = 0 \Rightarrow x=0\).

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng \((-2; 0)\) và nghịch biến trên khoảng \((0; 2)\).

Lời giải:

Điều kiện: \(x^2 - 2x > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)\).

Ta có: \(y' = \frac{(x^2-2x)'}{(x^2-2x)\ln 3} = \frac{2x-2}{(x^2-2x)\ln 3}\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 2x-2 = 0 \Leftrightarrow x=1\) (loại vì không thuộc tập xác định).

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 0)\) và đồng biến trên khoảng \((2; +\infty)\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = 6x^2 - 6x\). Cho \(y'=0 \Leftrightarrow 6x(x-1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \Rightarrow y=1 \\ x=1 \Rightarrow y=0 \end{array}\right.\)

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{CĐ}=1\) và đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{CT}=0\).

Lời giải:

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = -4x^3 + 6x^2 - 2\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = -2 \\ x = -\frac{1}{2} \Rightarrow y = -\frac{5}{16} \end{array}\right.\)

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \(x = -\frac{1}{2}\), \(y_{CĐ} = -\frac{5}{16}\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y_{CT} = -2\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{3}\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{1(3x-1) - 3(x+2)}{(3x-1)^2} = -\frac{7}{(3x-1)^2} < 0, \forall x \neq \frac{1}{3}\).

Kết luận: Vì \(y'\) không đổi dấu trên tập xác định nên hàm số không có cực trị.

Lời giải:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{(2x-4)(1-x) - (-1)(x^2-4x+4)}{(1-x)^2} = \frac{-2x^2+6x-4+x^2-4x+4}{(1-x)^2} = \frac{-x^2+2x}{(1-x)^2}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow -x^2+2x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y=4 \\ x = 2 \Rightarrow y=0 \end{array}\right.\)

Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{CT} = 4\) và đạt cực đại tại \(x=2\), \(y_{CĐ} = 0\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(f'(x) = (x^2-5x)' \cdot 2^{x^2-5x} \cdot \ln 2 = (2x-5) \cdot 2^{x^2-5x} \cdot \ln 2 \).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow (2x-5) \cdot 2^{x^2-5x} \cdot \ln 2 = 0 \Leftrightarrow 2x-5=0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\).

Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{5}{2}\), \(y_{CT} = 2^{(\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2})} = 2^{-\frac{25}{4}}\).

Lời giải:

Dựa vào đồ thị của \(y=f'(x)\), ta thấy \(f'(x)\) cắt trục hoành tại \(x=x_1, x=0, x=x_2\). Ta xét sự đổi dấu của \(f'(x)\) tại các điểm này:

• Khi \(x\) đi qua \(x_1\), đồ thị \(f'(x)\) đi từ dưới lên trên, tức là \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x=x_1\).
• Khi \(x\) đi qua \(0\), đồ thị \(f'(x)\) tiếp xúc với trục hoành và không đi qua, tức là \(f'(x)\) không đổi dấu. Do đó, hàm số \(f(x)\) không có cực trị tại \(x=0\).
• Khi \(x\) đi qua \(x_2\), đồ thị \(f'(x)\) đi từ trên xuống dưới, tức là \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm. Do đó, hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x=x_2\).

Kết luận: Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) có 1 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta xét sự đổi dấu của \(y'\):

• Tại \(x=-1\), ta có \(y'=0\) và \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm. Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\).
• Tại \(x=0\), cả \(y'\) và \(y\) đều không xác định nên đây không phải là điểm cực trị.
• Tại \(x=1\), ta có \(y'=0\) và \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\).

Kết luận: Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Lời giải:

Ta có đạo hàm: \(f'(x) = 3ax^2+2bx+c\).

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là \((0;2)\) (điểm cực đại) và \((3;-4)\) (điểm cực tiểu). Điều này có nghĩa là:

• Đồ thị đi qua điểm \((0;2)\) \(\Rightarrow f(0)=2\).
• Đạt cực trị tại \(x=0\) \(\Rightarrow f'(0)=0\).
• Đồ thị đi qua điểm \((3;-4)\) \(\Rightarrow f(3)=-4\).
• Đạt cực trị tại \(x=3\) \(\Rightarrow f'(3)=0\).

Ta có hệ phương trình:

Thay \(c=0, d=2\) vào hai phương trình cuối, ta được:

Kết luận: Vậy công thức của hàm số cần tìm là \(y = f(x) = \frac{4}{9}x^3-2x^2+2\).